آزمایشگاه آزاد؛ بدون نیاز به ورود
چطور از چند سینوس موج مربعی می‌سازیم؟
یک موج مربعی را می‌شود با جمع موج‌های سینوسی ساخت. در این مدل، هارمونیک‌های فرد با دامنه‌های کوچک‌تر روی هم می‌آیند؛ با جمله‌های بیشتر، بخش‌های صافِ نمودار شکل بهتری می‌گیرند، اما کنار پرش‌ها نوسان می‌ماند.
آزمایش رو شروع کننوع موج را روی «مربعی» نگه دار و عدد هارمونیک را از ۱ به ۵ و بعد ۹ برسون. این عدد سقف شماره‌ی موجِ افزوده‌شده است؛ در مقدار ۵، فقط شماره‌های ۱، ۳ و ۵ جمع می‌شوند.
آزمایشگاه در حال آماده شدنه…
حالا خودت امتحان کن
هر بار فقط یک چیز رو تغییر بده تا اثرش رو ببینی. قبل از اجرا، نتیجه رو حدس بزن.
از یک سینوس شروع کن
نوع موج رو روی «مربعی» و عدد هارمونیک رو روی ۱ بذار و شکل نمودار رو نگاه کن.
حدست چیه؟ یک سینوس تنها می‌تونه موج مربعی با لبه‌های صاف بسازه؟
توضیح نتیجه رو ببین
نه؛ منحنی هنوز نرم و سینوسیه و سکوهای صاف موج مربعی رو نمی‌سازه. اینجا فقط جمله‌ی پایه حضور داره. درصدِ خروجی «خطای تقریب» رو هم خطای واقعی نمودار حساب نکن؛ این عدد از فاصله‌ی دو شکل به دست نمی‌آد.
سه هارمونیک فرد را جمع کن
عدد هارمونیک رو از ۱ به ۵ برسون؛ نوع موج همون مربعی بمونه.
حدست چیه؟ با اضافه شدن موج‌های شماره‌ی ۳ و ۵، شکل نمودار به مربع نزدیک‌تر می‌شه یا دورتر؟
توضیح نتیجه رو ببین
حالا موج‌های شماره‌ی ۱، ۳ و ۵ با هم جمع می‌شن. قسمت‌های بالاوپایین به سکوهای صاف نزدیک‌ترند، ولی نزدیک پرش‌ها منحنی کمی بالاتر و پایین‌تر می‌ره؛ جمع محدود سینوس‌ها گوشه‌ی کاملاً تیز نمی‌سازه.
دو هارمونیک دیگر اضافه کن
عدد هارمونیک رو از ۵ به ۹ برسون و دوباره قسمت‌های صاف و ناحیه‌ی پرش رو مقایسه کن.
حدست چیه؟ جمله‌های شماره‌ی ۷ و ۹ چه تغییری در نمودار ایجاد می‌کنن؟
توضیح نتیجه رو ببین
دو جمله‌ی تازه با شماره‌های ۷ و ۹ به جمع اضافه می‌شن. در بخش‌های صاف، منحنی در بعضی نقاط بهتر به سطح موج مربعی می‌رسه؛ نزدیک پرش هنوز نوسان دیده می‌شه و با جمله‌های بیشتر هم کاملاً محو نمی‌شه.
پشت این حرکت چه خبره؟
موج پیچیده از موج‌های ساده
S_N(x) = (4/pi) * sum_{k=0}^{floor((N-1)/2)} sin(2*pi*(2*k+1)*x)/(2*k+1)
هر جمله یک موج سینوسی با بسامدِ چندبرابرِ موج پایه است. برای موج مربعیِ ایده‌آل، شماره‌های فرد با دامنه‌ی متناسب با ۱ روی شماره‌شان جمع می‌شوند؛ نمودار فقط یک تقریبِ محدود از این جمع را می‌کشد.
چرا شماره‌های فرد؟
n = 1, 3, 5, ...
در سری موج مربعی، جمله‌های با شماره‌ی زوج ضریب صفر دارند؛ برای همین جمعِ این مدل از ۱، ۳، ۵ و بقیه‌ی شماره‌های فرد ساخته می‌شود.
عدد کنترل با تعداد جمله‌ها یکی نیست
T(N) = floor((N + 1)/2)
عدد کشویی بالاترین شماره‌ی هارمونیک را مشخص می‌کند. مثلاً با عدد ۵ فقط سه جمله‌ی ۱، ۳ و ۵ داخل جمع‌اند؛ زیاد کردن از ۵ به ۶ جمله‌ی تازه‌ای اضافه نمی‌کند.
کنار پرش، نوسان می‌ماند
موج مربعیِ ایده‌آل ناگهان از یک سطح به سطح دیگر می‌پرد، اما جمعِ تعداد محدودی موج سینوسی پیوسته است. به همین خاطر کنار پرش بالا یا پایین می‌زند؛ با جمله‌های بیشتر ناحیه‌ی نوسان باریک‌تر می‌شود، ولی اندازه‌ی بیش‌جهش کاملاً از بین نمی‌رود.
سؤالت رو بپرس، جوابش رو هم ببین
وقتی توی چت دربارهٔ یک مفهوم درس می‌خونی، دستیار هوش مصنوعی می‌تونه شبیه‌سازی مرتبط رو کنار توضیحش نشون بده. پارامترها رو تغییر می‌دی و با کمک توضیح بعدی، نتیجه رو بهتر می‌فهمی.
شروع یادگیری با چتبرای ادامه در چت، وارد مسیر شروع و ورود می‌شی. نتیجهٔ این آزمایش به چت منتقل نمی‌شه.
نمونهٔ نمایشی از آموزش در چت
چرا نزدیک لبه‌های موج مربعی نمودار کمی بالا و پایین می‌زند؟
چون جمعِ چند سینوس هنوز یک منحنی پیوسته است و نمی‌تونه پرش تیزِ موج مربعی رو دقیق بسازه. اطراف پرش کمی بیش‌جهش و کم‌جهش می‌بینی؛ با هارمونیک‌های بیشتر این ناحیه جمع‌وجورتر می‌شه، اما کاملاً از بین نمی‌ره.
سؤال‌های رایج
هارمونیک یعنی چی؟
هارمونیک موجی سینوسی است که بسامدش یک برابر، دو برابر، سه برابر و همین‌طور چندبرابرِ بسامد موج پایه است. هرکدام با دامنه‌ای مشخص به جمع اضافه می‌شوند.
چرا موج مربعی فقط هارمونیک‌های فرد دارد؟
به خاطر تقارنِ موج مربعی، ضرایب هارمونیک‌های زوج در سری فوریه صفر می‌شوند. در این مدل هم فقط شماره‌های فرد مثل ۱، ۳ و ۵ وارد جمع‌اند.
درصدِ «خطای تقریب» واقعاً میزان خطای موج را می‌گوید؟
نه. آن عدد از روی فاصله‌ی منحنی رسم‌شده با موج مربعیِ هدف محاسبه نمی‌شود؛ پس بالا و پایین رفتنش را درصدِ واقعیِ دقت نخوان. برای این آزمایش، خود شکل نمودار در حالت مربعی را مقایسه کن.
چرا عددهای ۵ و ۶ منحنی یکسانی می‌سازند؟
چون در موج مربعی هارمونیک زوج اضافه نمی‌شود. تا وقتی عدد کنترل از ۵ به ۶ می‌رود، آخرین جمله‌ی جمع همچنان شماره‌ی ۵ است؛ جمله‌ی تازه با شماره‌ی ۷ در عدد ۷ اضافه می‌شود.
حالت موج مثلثی هم شکل استاندارد را نشان می‌دهد؟
نه به‌طور قابل‌اعتماد. حالت مثلثیِ این شبیه‌ساز با ضرایب علامت‌دارِ سری استاندارد ساخته نشده، پس برای درس موج مثلثی از شکلش نتیجه نگیر. آزمایش‌های این صفحه را روی حالت مربعی انجام بده.
با تعداد هارمونیک خیلی زیاد، بیش‌جهش ناپدید می‌شود؟
نه کاملاً. با اضافه شدن جمله‌ها، ناحیه‌ی بیش‌جهش نزدیک لبه باریک‌تر می‌شود، اما این رفتارِ جمع فوریه کنار پرش باقی می‌ماند.