آزمایشگاه آزاد؛ بدون نیاز به ورود
نمودار تارعنکبوتی و تابع بازگشتی
اگر هر بار خروجی رو دوباره وارد همون قانون کنی، عدد به کجا می‌رسه؟ قانون و ضریبش رو عوض کن و مسیر رفت‌وبرگشت رو روی نمودار دنبال کن.
آزمایش رو شروع کننوع قانون، ضریب و مقدار شروع رو انتخاب کن و اجرا رو بزن. خط قطری مقدارهای یکسان رو نشان می‌ده؛ مسیر رنگی از مقدار شروع حرکت می‌کنه و هر بار قانون رو دوباره به کار می‌بره.
آزمایشگاه در حال آماده شدنه…
حالا خودت امتحان کن
هر بار فقط یک چیز رو تغییر بده تا اثرش رو ببینی. قبل از اجرا، نتیجه رو حدس بزن.
رسیدن به نقطه‌ی ثابت
قانون لجستیک اول، ضریب ۲٫۵ و مقدار شروع ۰٫۵ رو انتخاب کن. خروجی‌های بعدی رو روی نمودار دنبال کن.
حدست چیه؟ بعد از چند بار تکرار، مقدارها دوروبر یک عدد می‌مونن یا همچنان فاصله می‌گیرن؟
توضیح نتیجه رو ببین
مقدارها به حدود ۰٫۶ نزدیک می‌شن و محاسبه بعد از ۱۳ تکرار متوقف می‌شه. نقطه‌ی ثابت یعنی اگر مقدار دقیق ۰٫۶ رو وارد قانون کنیم، خروجی دوباره ۰٫۶ می‌شه.
دو مقدار که یکی‌درمیون برمی‌گردن
قانون لجستیک اول و مقدار شروع ۰٫۵ رو نگه دار، ولی ضریب رو به ۳٫۲ برسون. مسیر چند قدم اول رو با اجرای قبل مقایسه کن.
حدست چیه؟ آیا خروجی روی یک عدد ثابت می‌مونه یا بین دو مقدار جابه‌جا می‌شه؟
توضیح نتیجه رو ببین
خروجی‌ها نزدیک ۰٫۵۱۳ و ۰٫۷۹۹ یکی‌درمیون می‌شن و بعد از ۱۰۰ تکرار هنوز به یک عدد ثابت نرسیدن. این چرخه‌ی دوتاییه؛ مقدار آخرِ نمایش‌داده‌شده فقط یکی از دو نقطه‌ی چرخه است.
تکرار خطی با ضریب کم‌تر از یک
نوع قانون رو روی خطی، ضریب رو روی ۰٫۸ و مقدار شروع رو روی ۰٫۵ بذار. مسیر هر بار کوچک‌تر شدن مقدار رو دنبال کن.
حدست چیه؟ اگر هر بار فقط ۸۰٪ مقدار قبلی باقی بمونه، در بلندمدت به کجا نزدیک می‌شه؟
توضیح نتیجه رو ببین
محاسبه بعد از ۲۷ تکرار و در حدود ۰٫۰۰۱۲ متوقف می‌شه. خروجی تا سه رقم اعشار گرد می‌شه، پس ممکنه ۰٫۰۰۱ ببینی. دنباله به صفر نزدیک می‌شه، هرچند در هیچ گامی دقیقاً صفر نمی‌شه.
پشت این حرکت چه خبره؟
نقطه‌ی ثابت
f(x*) = x*
نقطه‌ی ثابت مقداریه که با یک بار اجرای قانون عوض نمی‌شه. در نمودار، جاییه که منحنی تابع خط قطری y=x رو قطع می‌کنه. اگر مقدار شروع نزدیک چنین نقطه‌ای باشه، ممکنه تکرارها بهش نزدیک بشن.
چطور مسیر تارعنکبوتی ساخته می‌شه؟
x_(n+1) = f(x_n)
از مقدار روی محور افقی تا نمودار تابع می‌ریم تا خروجی رو بخونیم، بعد افقی تا خط y=x می‌ریم تا خروجی بعدی روی محور افقی قرار بگیره. این دو حرکت رو تکرار می‌کنیم تا رفتار قانون دیده بشه.
هر قانون، رفتار خودش رو داره
logistic1: x_(n+1)=r*x_n*(1-x_n); logistic2: x_(n+1)=r*x_n/(1+x_n); linear: x_(n+1)=r*x_n
در قانون لجستیک اول، مقدار شروع با خودش و فاصله‌اش تا ۱ در هم ضرب می‌شه. گزینه‌ی لجستیک۲ از قانون دیگری استفاده می‌کنه؛ نامش به‌تنهایی فرمول رو مشخص نمی‌کنه. در قانون خطی، هر بار مقدار قبلی در ضریب r ضرب می‌شه.
سؤالت رو بپرس، جوابش رو هم ببین
وقتی توی چت دربارهٔ یک مفهوم درس می‌خونی، دستیار هوش مصنوعی می‌تونه شبیه‌سازی مرتبط رو کنار توضیحش نشون بده. پارامترها رو تغییر می‌دی و با کمک توضیح بعدی، نتیجه رو بهتر می‌فهمی.
شروع یادگیری با چتبرای ادامه در چت، وارد مسیر شروع و ورود می‌شی. نتیجهٔ این آزمایش به چت منتقل نمی‌شه.
نمونهٔ نمایشی از آموزش در چت
چرا قانون لجستیک اول با ضریب ۲٫۵ به حدود ۰٫۶ می‌رسه؟
نقطه‌ی ثابت غیرصفر این قاعده از حل معادله‌ی r*x*(1-x)=x پیدا می‌شه: برای r برابر ۲٫۵، جواب غیرصفر ۰٫۶ است. با مقدار شروع ۰٫۵، تکرارها بهش نزدیک می‌شن. ضریب رو به ۳٫۲ برسون تا به‌جای موندن روی یک نقطه، رفت‌وبرگشت بین دو مقدار رو ببینی.
سؤال‌های رایج
نقطه‌ی ثابت یعنی چی؟
مقداریه که اگر دوباره وارد همون قانون بشه، تغییر نکنه؛ یعنی f(x)=x. نزدیک نقطه‌ی ثابت موندنِ تکرارها به شکل قانون و مقدار شروع بستگی داره.
چرخه‌ی دوتایی چطور دیده می‌شه؟
اگر خروجی‌های پشت‌سرهم بین دو مقدار رفت‌وبرگشت کنن و روی یکی ثابت نشن، یک چرخه‌ی دوره‌ی دو داریم. با قانون لجستیک اول و ضریب ۳٫۲، در این اجرا مقدارها نزدیک ۰٫۵۱۳ و ۰٫۷۹۹ می‌شن.
گزینه‌ی لجستیک۲ همان فرمول لجستیک معروفه؟
نه. در این ویجت، گزینه‌ی دوم از قاعده‌ی r*x/(1+x) استفاده می‌کنه؛ فرمول لجستیک اول r*x*(1-x) است. قبل از تفسیر نمودار، خود قاعده رو با فرمول مقایسه کن.
مقدار آخر همیشه نقطه‌ی ثابته؟
نه. ممکنه محاسبه بعد از رسیدن به حد ۱۰۰ تکرار یا بیرون رفتن مقدار از صفر تا یک متوقف بشه. در چرخه‌ی دوتایی، مقدار آخر فقط یکی از دو مقدار چرخه است.