آزمایشگاه آزاد؛ بدون نیاز به ورود
ضرب اعداد مختلط؛ چرخش و کشیدگی
عدد مختلط فقط یک نقطه نیست؛ جهت و اندازه هم داره. دو عدد رو ضرب کن و ردّ تغییر جهت و طول رو در حاصل پیدا کن.
آزمایش رو شروع کنبخش حقیقی و موهومی z و w رو با اسلایدرها بساز. پیکان‌های z و w از مبدأ شروع می‌شن؛ پیکان نارنجی حاصل‌ضربشونه. خروجی مؤلفه‌ها، اندازه و زاویه رو هم نشون می‌ده.
آزمایشگاه در حال آماده شدنه…
حالا خودت امتحان کن
هر بار فقط یک چیز رو تغییر بده تا اثرش رو ببینی. قبل از اجرا، نتیجه رو حدس بزن.
دو عدد مختلط رو ضرب کن
مقدارها رو روی z=۲+i و w=۱+i بذار و اجرا رو بزن. مؤلفه‌های حاصل رو با پیکان نارنجی مقایسه کن.
حدست چیه؟ حاصل‌ضرب چند واحد حقیقی و چند واحد موهومی داره؟
توضیح نتیجه رو ببین
حاصل ۱+۳i است: بخش حقیقی ۱ و بخش موهومی ۳. اندازه‌اش ریشه‌ی ۱۰، حدود ۳٫۱۶، و زاویه‌اش حدود ۷۱٫۶ درجه است.
ضرب در i چه می‌کنه؟
z=۲+i رو نگه دار و w رو از ۱+i به i تغییر بده؛ یعنی بخش حقیقی w رو صفر و بخش موهومی‌اش رو یک کن.
حدست چیه؟ اندازه‌ی حاصل با z برابره؟ زاویه چند درجه می‌چرخه؟
توضیح نتیجه رو ببین
حاصل −۱+۲i است. اندازه‌اش همون ریشه‌ی ۵، حدود ۲٫۲۴، باقی می‌مونه و زاویه از حدود ۲۶٫۶ به ۱۱۶٫۶ درجه می‌ره؛ ضرب در i یک چرخش ۹۰ درجه‌ایه.
ضرب در دو، دو برابر می‌کنه
z رو روی ۲+i بذار و w رو برابر ۲+۰i کن. اندازه و زاویه‌ی حاصل رو با خود z بسنج.
حدست چیه؟ وقتی در عدد حقیقی مثبت ۲ ضرب می‌کنی، اندازه و جهت چه می‌شن؟
توضیح نتیجه رو ببین
حاصل ۴+۲i است؛ اندازه از حدود ۲٫۲۴ به ۴٫۴۷ می‌رسه و زاویه حدود ۲۶٫۶ درجه می‌مونه. ضرب در عدد حقیقی مثبت ۲ طول رو دو برابر می‌کنه، اما جهت رو تغییر نمی‌ده.
پشت این حرکت چه خبره؟
بخش حقیقی و موهومی
(a + b*i)*(c + d*i) = (a*c - b*d) + (a*d + b*c)*i
عدد مختلط z=a+bi رو با نقطه‌ی (a,b) روی صفحه می‌کشیم: افقی بخش حقیقیه و عمودی ضریب i. حاصل‌ضرب هم دو مؤلفه داره که از پخش کردن ضرب به دست میان.
اندازه‌ی حاصل‌ضرب
|z*w| = |z|*|w|
اندازه فاصله‌ی نقطه از مبدأه. در ضرب دو عدد مختلط، اندازه‌ی حاصل برابر اندازه‌ی اولی ضرب‌در اندازه‌ی دومیه؛ برای همین ضرب در عددی با اندازه‌ی بیش‌تر از یک، بردار رو می‌کشه.
زاویه‌ها با هم جمع می‌شن
arg(z*w) = (arg(z) + arg(w)) mod 360
ضرب، زاویه‌ی z و w رو با هم جمع می‌کنه و اندازه‌ها رو ضرب می‌کنه. در صفحه این یعنی پیکان حاصل هم می‌چرخه و هم کوتاه یا بلند می‌شه. زاویه‌ی خروجی این ابزار از صفر تا ۳۶۰ درجه نمایش داده می‌شه.
سؤالت رو بپرس، جوابش رو هم ببین
وقتی توی چت دربارهٔ یک مفهوم درس می‌خونی، دستیار هوش مصنوعی می‌تونه شبیه‌سازی مرتبط رو کنار توضیحش نشون بده. پارامترها رو تغییر می‌دی و با کمک توضیح بعدی، نتیجه رو بهتر می‌فهمی.
شروع یادگیری با چتبرای ادامه در چت، وارد مسیر شروع و ورود می‌شی. نتیجهٔ این آزمایش به چت منتقل نمی‌شه.
نمونهٔ نمایشی از آموزش در چت
چرا ضرب در i جهت رو عوض می‌کنه، ولی اندازه‌ی عدد رو نه؟
اندازه‌ی i برابر یکه و زاویه‌اش ۹۰ درجه است. پس وقتی z رو در i ضرب می‌کنی، اندازه در یک ضرب می‌شه و ثابت می‌مونه، ولی زاویه ۹۰ درجه زیاد می‌شه. با z=۲+i، پیکان از زاویه‌ی حدود ۲۶٫۶ به ۱۱۶٫۶ درجه می‌چرخه.
سؤال‌های رایج
چرا بخش حقیقی حاصل ac−bd می‌شه؟
وقتی (a+bi) رو در (c+di) پخش می‌کنیم، جمله‌ی bd در i² ضرب می‌شه. چون i² برابر منفی یکه، این جمله به بخش حقیقی منفی bd اضافه می‌شه.
اندازه‌ی حاصل‌ضرب رو چطور حساب کنم؟
اندازه‌ی z برابر ریشه‌ی a²+b² است. اندازه‌ی حاصل‌ضرب دو عدد مختلط هم حاصل‌ضرب اندازه‌های اون‌هاست؛ زاویه‌ها جداگانه با هم جمع می‌شن.
ضرب در i همیشه ۹۰ درجه می‌چرخونه؟
بله، چون i اندازه‌ی یک و زاویه‌ی ۹۰ درجه داره. جهت ساعت‌گرد یا پادساعت‌گرد اینجا پادساعت‌گرده؛ زاویه‌ی حاصل به بازه‌ی صفر تا ۳۶۰ برمی‌گرده.
اگر حاصل صفر باشه، زاویه‌اش چنده؟
بردار صفر طول نداره و جهت مشخصی نداره، پس زاویه‌ی آن از نظر ریاضی تعریف نشده. این ابزار برای چنین حالتی عدد صفر گزارش می‌کنه؛ اون عدد رو زاویه‌ی واقعی برداشت نکن.