آزمایشگاه آزاد؛ بدون نیاز به ورود
یک مخروط چند بار توی استوانه جا میگیره؟
اگه یک مخروط و یک استوانه شعاع پایه و ارتفاع یکسان داشته باشن، حجم مخروط چقدر از حجم استوانهست؟ شعاع و ارتفاع رو عوض کن و نسبتشون رو با عددهای حجم مقایسه کن.
آزمایش رو شروع کناز شعاع ۳ و ارتفاع ۶ شروع کن. حجم استوانه حدود ۱۶۹٫۶ و حجم مخروط حدود ۵۶٫۵ واحد مکعب میشه؛ نسبت رو هم بخون و بعد یکی از اندازهها رو تغییر بده.
آزمایشگاه در حال آماده شدنه…
حالا خودت امتحان کن
هر بار فقط یک چیز رو تغییر بده تا اثرش رو ببینی. قبل از اجرا، نتیجه رو حدس بزن.
شعاع پایه رو ۱٫۵ برابر کن
ارتفاع رو روی ۶ نگه دار و شعاع رو از ۳ به ۴٫۵ ببر. حجم هر دو شکل و نسبت رو بخون.
حدست چیه؟ چون شعاع بزرگتر شده، حجم هر شکل چند برابر میشه؟ سهم مخروط از استوانه عوض میشه؟
توضیح نتیجه رو ببین
حجم استوانه از حدود ۱۶۹٫۶ به ۳۸۱٫۷ و حجم مخروط از ۵۶٫۵ به ۱۲۷٫۲ میرسه؛ هر دو ۲٫۲۵ برابر میشن، چون مساحت دایره با مربع شعاع رشد میکنه. نسبت حجم مخروط به استوانه هنوز ۳۳٪ه.
ارتفاع رو یکونیم برابر کن
شعاع رو ۳ نگه دار و ارتفاع رو از ۶ به ۹ تغییر بده. هر سه خروجی رو با حالت شروع مقایسه کن.
حدست چیه؟ اگر فقط ارتفاع ۱٫۵ برابر بشه، حجمها و نسبت چه تغییری میکنن؟
توضیح نتیجه رو ببین
حجم استوانه به حدود ۲۵۴٫۵ و مخروط به ۸۴٫۸ واحد مکعب میرسه؛ هر دو ۱٫۵ برابر شدن. نسبت همون ۳۳٪ میمونه، چون هر دو شکل با یک پایه و ارتفاع مقایسه میشن.
شعاع و ارتفاع رو با هم دوبرابر کن
حجمها رو در شعاع ۲ و ارتفاع ۴ با شعاع ۴ و ارتفاع ۸ مقایسه کن.
حدست چیه؟ وقتی اندازههای خطی دو برابر میشن، هر حجم چند برابر میشه؟ نسبت مخروط به استوانه چی؟
توضیح نتیجه رو ببین
حجم استوانه از ۵۰٫۳ به ۴۰۲٫۱ و مخروط از ۱۶٫۸ به ۱۳۴ واحد مکعب میرسه؛ هر دو ۸ برابر میشن، چون شعاع دوبرابر مساحت پایه رو ۴ برابر و ارتفاع دوبرابر حجم رو باز هم ۲ برابر میکنه. نسبت همچنان ۳۳٪ه.
پشت این حرکت چه خبره؟
حجم استوانه، مساحت پایه ضربدر ارتفاعه
V_cylinder = pi * r^2 * h
پایهٔ استوانه یک دایرهست. مساحت دایره با مربع شعاع زیاد میشه؛ بعد اون رو در ارتفاع ضرب میکنی تا حجم به دست بیاد.
حجم مخروط یکسوم استوانهٔ هماندازهست
V_cone = pi * r^2 * h / 3
اگر شعاع دایرهٔ پایه و ارتفاع دو شکل یکی باشه، فرمول مخروط همون مساحت پایه ضربدر ارتفاعه، تقسیم بر ۳. برای همین نسبت حجم به مقدار شعاع و ارتفاع وابسته نیست.
همهٔ اندازهها که بزرگ شن، حجم تندتر رشد میکنه
V_new / V_old = k^3
اگر شعاع و ارتفاع هر دو k برابر بشن، دو بُعد پایه با شعاع بزرگ میشن و ارتفاع هم k برابر میشه؛ پس حجم k به توان ۳ برابر میشه. نسبت دو حجم با این تغییر ثابت میمونه.
سؤالت رو بپرس، جوابش رو هم ببین
وقتی توی چت دربارهٔ یک مفهوم درس میخونی، دستیار هوش مصنوعی میتونه شبیهسازی مرتبط رو کنار توضیحش نشون بده. پارامترها رو تغییر میدی و با کمک توضیح بعدی، نتیجه رو بهتر میفهمی.
شروع یادگیری با چتبرای ادامه در چت، وارد مسیر شروع و ورود میشی. نتیجهٔ این آزمایش به چت منتقل نمیشه.
نمونهٔ نمایشی از آموزش در چت
اگه شعاع و ارتفاع هر دو دوبرابر بشن، چرا حجم ۸ برابر میشه ولی نسبت مخروط به استوانه عوض نمیشه؟
دوبرابرشدن شعاع، مساحت پایه رو ۴ برابر میکنه و دوبرابرشدن ارتفاع هم حجم رو ۲ برابر دیگه میکنه؛ پس هر حجم ۸ برابر میشه. چون فرمول هر دو شکل در همین عاملها مشترکه و مخروط یکسوم اون مقدار رو داره، نسبت همچنان یکسوم میمونه.
سؤالهای رایج
چرا نسبت حجم مخروط به استوانه همیشه یکسومه؟
وقتی پایه و ارتفاع هر دو شکل یکی باشن، هر دو فرمول عامل pi ضربدر شعاع به توان دو ضربدر ارتفاع رو دارن؛ فرمول مخروط فقط بر ۳ تقسیم میشه.
اگر شعاع رو دوبرابر کنم، حجم چهاربرابر میشه؟
بله، به شرطی که ارتفاع ثابت بمونه. مساحت دایره با مربع شعاع تغییر میکنه، پس دوبرابرشدن شعاع، حجم هر دو شکل رو ۴ برابر میکنه.
میتونم دو شکل با شعاع یا ارتفاع متفاوت رو مقایسه کنم؟
میتونی حجمشون رو جداگانه حساب کنی، اما نسبت یکسوم فقط وقتی برقرار میمونه که شعاع پایه و ارتفاع مخروط و استوانه برابر باشن.
چرا واحد حجم به توان سه میرسه؟
چون مساحت پایه دو بُعد داره و ارتفاع هم یک بُعد دیگه؛ مثلاً شعاع و ارتفاع بر حسب متر باشن، حجم بر حسب متر مکعب درمیآد.