آزمایشگاه آزاد؛ بدون نیاز به ورود
ضرب داخلی و تصویر یک بردار روی بردار دیگر
اگر دو بردار هم‌اندازه باشن ولی زاویه‌شون عوض بشه، ضرب داخلی چه‌طور تغییر می‌کنه؟ زاویه رو از ۶۰ به ۹۰ و بعد ۱۲۰ درجه ببر و هم اندازه و هم علامت خروجی رو بخون.
آزمایش رو شروع کناندازهی A رو روی ۵، اندازه‌ی B رو روی ۶ و زاویه‌ی بین‌شون رو روی ۶۰ درجه بذار. پیش از مقایسه حدس بزن اگر دو بردار عمود بشن، ضرب داخلی و تصویر چه عددی می‌شن.
آزمایشگاه در حال آماده شدنه…
حالا خودت امتحان کن
هر بار فقط یک چیز رو تغییر بده تا اثرش رو ببینی. قبل از اجرا، نتیجه رو حدس بزن.
بردارها رو عمود کن
اندازه‌های A و B رو روی ۵ و ۶ نگه دار. زاویه رو اول روی ۶۰ و بعد روی ۹۰ درجه بذار و دو حالت رو مقایسه کن.
حدست چیه؟ وقتی دو بردار بر هم عمود می‌شن، ضرب داخلی و تصویر A روی B چه می‌شن؟
توضیح نتیجه رو ببین
در ۶۰ درجه، ضرب داخلی ۱۵ و تصویر ۲٫۵ه. در ۹۰ درجه هر دو صفر می‌شن؛ هیچ بخشی از A در راستای B باقی نمی‌مونه.
زاویه رو از ۹۰ درجه رد کن
اندازه‌ها رو روی ۵ و ۶ نگه دار. زاویه رو اول ۶۰ و بعد ۱۲۰ درجه کن.
حدست چیه؟ وقتی زاویه از ۹۰ می‌گذره، علامت ضرب داخلی و تصویر مثبت می‌مونه یا منفی می‌شه؟
توضیح نتیجه رو ببین
در ۶۰ درجه، ضرب داخلی ۱۵ و تصویر ۲٫۵ه؛ در ۱۲۰ درجه به منفی ۱۵ و منفی ۲٫۵ می‌رسن. علامت منفی یعنی مؤلفه‌ی A در جهت مخالف بردار B قرار گرفته.
اندازه‌ی B رو کم کن
اندازه‌ی A رو روی ۵ و زاویه رو روی ۶۰ درجه ثابت نگه دار. اندازه‌ی B رو اول روی ۶ و بعد روی ۳ بذار.
حدست چیه؟ اگر B نصف بشه، ضرب داخلی و تصویر A روی B هر دو نصف می‌شن؟
توضیح نتیجه رو ببین
ضرب داخلی از ۱۵ به ۷٫۵ می‌رسه، اما تصویر در هر دو حالت ۲٫۵ می‌مونه. در تصویر، ضرب داخلی بر اندازه‌ی B تقسیم می‌شه؛ اثر اندازه‌ی B حذف می‌شه و فقط اندازه‌ی A و زاویه باقی می‌مونن.
پشت این حرکت چه خبره؟
ضرب داخلی چه رابطه‌ای با زاویه داره؟
A_dot_B = |A|*|B|*cos(theta)
ضرب داخلی اندازه‌ی A و B رو در کسینوس زاویه‌ی بین‌شون ضرب می‌کنه. زاویه‌ی تیز مقدار مثبت می‌ده، زاویه‌ی قائمه صفر و زاویه‌ی منفرجه مقدار منفی؛ پس اندازه‌ها به‌تنهایی علامت رو تعیین نمی‌کنن.
تصویر A روی B یعنی چی؟
proj_B(A) = (A_dot_B)/|B| = |A|*cos(theta)
تصویرِ عددی، سهم بردار A در راستای B رو نشون می‌ده. وقتی زاویه بیشتر از ۹۰ درجه باشه، این مؤلفه منفی می‌شه؛ یعنی A در جهت مخالف B سهم داره، نه اینکه طول معمولی منفی شده باشه.
چرا تغییر اندازه‌ی B تصویر رو عوض نمی‌کنه؟
( |A|*|B|*cos(theta) )/|B| = |A|*cos(theta)
در محاسبه‌ی تصویر A روی B، ضرب داخلی بر اندازه‌ی B تقسیم می‌شه. اندازه‌ی B در هر دو بخش هست و حذف می‌شه؛ با ثابت موندن A و زاویه، تصویر عددی هم ثابت می‌مونه.
سؤالت رو بپرس، جوابش رو هم ببین
وقتی توی چت دربارهٔ یک مفهوم درس می‌خونی، دستیار هوش مصنوعی می‌تونه شبیه‌سازی مرتبط رو کنار توضیحش نشون بده. پارامترها رو تغییر می‌دی و با کمک توضیح بعدی، نتیجه رو بهتر می‌فهمی.
شروع یادگیری با چتبرای ادامه در چت، وارد مسیر شروع و ورود می‌شی. نتیجهٔ این آزمایش به چت منتقل نمی‌شه.
نمونهٔ نمایشی از آموزش در چت
چرا وقتی زاویه‌ی دو بردار ۱۲۰ درجه‌ست، تصویر A روی B منفی می‌شه؟
چون کسینوس زاویه‌ی منفرجه منفیه. تصویرِ عددی سهم A در جهت B رو می‌سنجه؛ وقتی این سهم رو به جهت مخالف B باشه، مقدار منفی می‌شه. این با طول معمولی فرق داره که منفی نیست.
سؤال‌های رایج
چرا در زاویه‌ی ۹۰ درجه ضرب داخلی صفر می‌شه؟
کسینوس ۹۰ درجه صفره. دو بردار همدیگه رو در راستای یکدیگر جلو یا عقب نمی‌برن، پس ضرب داخلی و تصویر عددی صفر می‌شن.
تصویر منفی یعنی چی؟
یعنی مؤلفه‌ی بردار A در راستای B رو به جهت مخالف Bه. علامت جهت رو می‌گه؛ طول معمولی بردار همچنان منفی نمی‌شه.
چرا با نصف شدن اندازه‌ی B، تصویر ثابت می‌مونه؟
چون ضرب داخلی هم با اندازه‌ی B متناسبه و برای محاسبه‌ی تصویر بر همون اندازه تقسیم می‌شه. این دو اثر همدیگه رو خنثی می‌کنن و تصویر A فقط به اندازه‌ی خودش و زاویه بستگی داره.
خروجی‌های ضرب داخلی و تصویر چه واحدی دارن؟
اگر اندازه‌ی بردارها واحد طول داشته باشه، ضرب داخلی واحد طولِ مربع و تصویر واحد طول داره. این ابزار واحدها رو کنار خروجی نمی‌نویسه؛ عددها رو با واحد فرضی در نظر بگیر.
خط نارنجی شکل، تصویر A روی B رو دقیق نشون می‌ده؟
نه؛ در شکل فعلی، خط نارنجی روی محور A رسم شده، در حالی که تصویر A روی B باید در راستای B باشه. برای محل تصویر و عمود بودن خط نقطه‌چین به نمودار تکیه نکن؛ خروجی عددی و رابطه‌ی تصویر رو بخون.