آزمایشگاه آزاد؛ بدون نیاز به ورود
خطای طول و عرض چطور به عدم قطعیت مساحت می‌رسه؟
مساحت مستطیل از ضرب طول در عرض به دست می‌آد؛ پس خطای هر ضلع روی جواب اثر می‌ذاره. طول، عرض و عدم قطعیت مشترک اندازه‌گیری رو تغییر بده و ببین مساحت و خطای تقریبی چطور عوض می‌شن.
آزمایش رو شروع کنبرای طول ۵۰ سانتی‌متر، عرض ۳۰ سانتی‌متر و عدم قطعیت ۲ سانتی‌متر، مساحت ۱۵۰۰ سانتی‌متر مربع و عدم قطعیت تقریبی ۱۶۰ سانتی‌متر مربعه.
آزمایشگاه در حال آماده شدنه…
حالا خودت امتحان کن
هر بار فقط یک چیز رو تغییر بده تا اثرش رو ببینی. قبل از اجرا، نتیجه رو حدس بزن.
عدم قطعیت رو دو برابر کن
طول رو روی ۵۰ سانتی‌متر و عرض رو روی ۳۰ نگه دار. عدم قطعیت مشترک دو اندازه‌گیری رو از ۲ به ۴ سانتی‌متر ببر و خروجی‌ها رو مقایسه کن.
حدست چیه؟ اگر خطای هر دو ضلع دو برابر بشه، مساحت و عدم قطعیتش هر دو دو برابر می‌شن؟
توضیح نتیجه رو ببین
مساحت در هر دو حالت ۱۵۰۰ سانتی‌متر مربعه، چون طول و عرض عوض نشدن. عدم قطعیت تقریبی از ۱۶۰ به ۳۲۰ سانتی‌متر مربع می‌رسه؛ این مدل خطا رو با ابعاد مستطیل مقیاس می‌کنه.
طول رو زیاد کن و اثرش رو جدا ببین
عرض رو روی ۳۰ سانتی‌متر و عدم قطعیت رو روی ۲ سانتی‌متر نگه دار. طول رو از ۵۰ به ۱۰۰ سانتی‌متر تغییر بده.
حدست چیه؟ با دو برابر شدن طول، مساحت و عدم قطعیت تقریبی هر کدوم چه تغییری می‌کنن؟
توضیح نتیجه رو ببین
مساحت از ۱۵۰۰ به ۳۰۰۰ سانتی‌متر مربع می‌رسه. عدم قطعیت از ۱۶۰ به ۲۶۰ می‌رسه، نه ۳۲۰؛ چون سهم نسبی خطای طول کم‌تر شده، ولی خطای عرض هنوز همون سهم رو می‌ده.
همون خطا برای مستطیل کوچک‌تر
طول رو روی ۱۰ سانتی‌متر و عرض رو روی ۵ بذار. عدم قطعیت مشترک رو یک بار ۰٫۵ و بار دیگه ۱ سانتی‌متر انتخاب کن.
حدست چیه؟ وقتی اندازهٔ مستطیل کوچیکه، عدم قطعیت نیم‌سانتی‌متری چه اثری روی مساحت داره؟
توضیح نتیجه رو ببین
مساحت ۵۰ سانتی‌متر مربعه. عدم قطعیت تقریبی با خطای ۰٫۵ سانتی‌متر، ۷٫۵ و با خطای ۱ سانتی‌متر، ۱۵ سانتی‌متر مربعه؛ خطای یکسان نسبت به ضلع‌های کوچک سهم بزرگ‌تری داره.
پشت این حرکت چه خبره؟
مساحت مستطیل حاصل‌ضرب دو اندازه‌ست
A = L*W
برای طول L و عرض W، مساحت برابر L ضرب‌در Wه. اگر هر دو اندازه کمی خطا داشته باشن، خطای مساحت به هر دو سهم وابسته می‌شه.
خطاهای نسبیِ ضلع‌ها روی هم اثر می‌ذارن
deltaA/A ~= deltaL/L + deltaW/W
برای خطاهای کوچک، این مدل سهم نسبی طول و عرض رو جمع می‌کنه. چون یک مقدار عدم قطعیت مشترک به هر دو ضلع می‌ده، تغییر ابعاد می‌تونه سهم هر ضلع رو کم‌وزیاد کنه.
این حساب یک تقریب خطی برای خطاهای کوچیکه
deltaA ~= W*deltaL + L*deltaW
روش، جمله‌های مرتبهٔ بالاتر رو کنار می‌ذاره و عدم قطعیت رو در مقیاس تغییرهای کوچک تخمین می‌زنه. اگر عدم قطعیت نسبت به ضلع خیلی بزرگ باشه، عدد خروجی رو باید با احتیاط بخونی.
سؤالت رو بپرس، جوابش رو هم ببین
وقتی توی چت دربارهٔ یک مفهوم درس می‌خونی، دستیار هوش مصنوعی می‌تونه شبیه‌سازی مرتبط رو کنار توضیحش نشون بده. پارامترها رو تغییر می‌دی و با کمک توضیح بعدی، نتیجه رو بهتر می‌فهمی.
شروع یادگیری با چتبرای ادامه در چت، وارد مسیر شروع و ورود می‌شی. نتیجهٔ این آزمایش به چت منتقل نمی‌شه.
نمونهٔ نمایشی از آموزش در چت
چرا با همان خطای اندازه‌گیری، مستطیل کوچک‌تر عدم قطعیت نسبی بیش‌تری داره؟
چون یک مقدار ثابت خطا، نسبت بزرگ‌تری از ضلع کوچک رو می‌سازه. مثلاً نیم سانتی‌متر در برابر ضلع ۵ سانتی‌متری، سهم بیش‌تری داره تا در برابر ضلع ۵۰ سانتی‌متری؛ برای همین خطاهای نسبی جمع‌شده بزرگ‌تر می‌شن.
سؤال‌های رایج
چطور خطای مساحت رو از خطای طول و عرض تخمین بزنم؟
برای خطاهای کوچک، سهم نسبی خطای طول و عرض رو جمع کن و در مساحت ضرب کن. این مدل برای هر دو ضلع یک عدم قطعیت مشترک می‌گیره.
اگر عدم قطعیت دو برابر بشه، خطای مساحت هم دو برابر می‌شه؟
در همین مدل خطی، بله؛ طول و عرض رو ثابت نگه دار و عدم قطعیت مشترک رو دو برابر کن تا ببینی عدد عدم قطعیت مساحت هم دو برابر می‌شه.
این خروجی انحراف معیارِ اندازه‌گیری‌های مستقل رو می‌ده؟
نه. این مدل خطای نسبی طول و عرض رو مستقیم جمع می‌کنه و انحراف معیار آماری یا ترکیب مربعی خطاهای مستقل رو حساب نمی‌کنه.
اگر خطای اندازه‌گیری به اندازهٔ ضلع نزدیک باشه چی؟
تقریب خطی برای خطاهای کوچک ساخته شده. اگر عدم قطعیت نسبت به طول یا عرض بزرگ باشه، جمله‌های حذف‌شده می‌تونن مهم بشن و عدد رو نباید دقیق فرض کرد.