آزمایشگاه آزاد؛ بدون نیاز به ورود
مثلث خیام و ضرایب دوجمله‌ای
در هر سطر، عددهای کناری یک‌اند و عددهای وسط از جمع دو عدد بالاشون درمی‌آن. سطرها رو عوض کن و ببین مجموع این عددها چه الگویی داره.
آزمایش رو شروع کنشمارهی سطر از صفر شروع می‌شه؛ سطر پنجم شش عدد داره. نمایش «اعداد» رو نگه دار و مقدارهای سطر و خروجی مجموع رو بخون.
آزمایشگاه در حال آماده شدنه…
حالا خودت امتحان کن
هر بار فقط یک چیز رو تغییر بده تا اثرش رو ببینی. قبل از اجرا، نتیجه رو حدس بزن.
سطر پنجم رو بخون
شماره‌ی سطر رو روی ۵ و نمایش رو روی «اعداد» بذار. از چپ به راست سطر رو بخون و وسطش رو پیدا کن.
حدست چیه؟ چرا عدد ۱۰ در سطر پنجم دو بار می‌آد؟
توضیح نتیجه رو ببین
سطر پنجم ۱، ۵، ۱۰، ۱۰، ۵، ۱ است. ضریب‌های قرینه برابرن؛ هر ۱۰ هم تعداد راه‌های انتخاب دو شیء از پنج شیء رو می‌شمره. مجموع سطر ۳۲ است.
از هر خانه‌ی سطر قبل بساز
شماره‌ی سطر رو از ۵ به ۶ تغییر بده و نمایش عددی رو نگه دار. خانه‌های سطر جدید رو با سطر قبلی مقایسه کن.
حدست چیه؟ عدد وسط ۲۰ از کجا می‌آد؟
توضیح نتیجه رو ببین
سطر ششم برابر ۱، ۶، ۱۵، ۲۰، ۱۵، ۶، ۱ است. عدد ۲۰ از جمع ۱۰ و ۱۰ بالای خودش می‌آد. مجموع سطر ۶۴ است؛ دو برابر مجموع سطر قبل.
رابطه‌ی مجموع با شماره‌ی سطر
شماره‌ی سطر رو روی ۸ بذار و نمایش «اعداد» رو انتخاب کن. مجموع سطر و توان دو رو با سطر ششم مقایسه کن.
حدست چیه؟ با دو سطر جلو رفتن، مجموع از ۶۴ به چه عددی می‌رسه؟
توضیح نتیجه رو ببین
در سطر هشتم، مجموع و توان دو هر دو ۲۵۶ هستند. از هر شیء می‌شه انتخاب یا رد کرد؛ برای هشت شیء این دوحالتِ هر کدوم از هشت مورد، درمجموع ۲ به توان ۸ حالت می‌سازه.
پشت این حرکت چه خبره؟
ضریب دوجمله‌ای یعنی چی؟
C(n,k) = n!/(k!*(n-k)!)
عدد جایگاه k در سطر n، تعداد راه‌های انتخاب k شیء از n شیء است. برای نمونه، عدد ۱۰ در سطر پنجم می‌شمره چند جور می‌شه دو مورد از پنج مورد برداشت.
ساختن خانه‌های میانی
C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)
هر خانه‌ی وسط از جمع دو خانه‌ی بالایی ساخته می‌شه: یکی بالای چپ و یکی بالای راست. کنارهای سطر همیشه یک می‌مونن.
چرا مجموع سطر n برابر ۲ به توان n است؟
sum_(k=0)^n C(n,k) = 2^n
برای هر کدوم از n شیء دو انتخاب داریم: برداریم یا برنداریم. هر انتخاب، در یک گروهِ kتایی قرار می‌گیره؛ پس جمع تعداد همه‌ی گروه‌ها برابر کل حالت‌ها، یعنی ۲ به توان n است.
سؤالت رو بپرس، جوابش رو هم ببین
وقتی توی چت دربارهٔ یک مفهوم درس می‌خونی، دستیار هوش مصنوعی می‌تونه شبیه‌سازی مرتبط رو کنار توضیحش نشون بده. پارامترها رو تغییر می‌دی و با کمک توضیح بعدی، نتیجه رو بهتر می‌فهمی.
شروع یادگیری با چتبرای ادامه در چت، وارد مسیر شروع و ورود می‌شی. نتیجهٔ این آزمایش به چت منتقل نمی‌شه.
نمونهٔ نمایشی از آموزش در چت
از کجا معلومه مجموع سطر هشتم باید ۲۵۶ باشه؟
هر سطر تعداد راه‌های انتخاب k شیء از یک مجموعه‌ی هشت‌تایی رو برای همه‌ی kها جمع می‌کنه. از هر شیء دو انتخاب داریم: برداشتن یا برنداشتن؛ پس ۲ به توان ۸ حالت می‌شه. ویجت برای سطر ۸ هم مجموع ۲۵۶ و هم توان دو ۲۵۶ رو گزارش می‌کنه.
سؤال‌های رایج
چرا سطر صفر فقط عدد ۱ رو داره؟
از هیچ شیئی دقیقاً یک راه برای انتخاب صفر شیء داریم: هیچ‌چیز رو برنمی‌داریم. پس ضریب C(۰،۰) برابر یکه و مجموع سطر صفر هم یک می‌شه.
عددهای هر سطر چه چیزی رو می‌شمرن؟
در سطر n، عدد خانه‌ی k تعداد راه‌های انتخاب k شیء از n شیء است. مثلاً عدد ۱۰ در سطر پنجم، راه‌های انتخاب دو شیء از پنج شیء رو می‌شمره.
چرا مجموع سطر با توان دو برابر می‌شه؟
برای هر شیء دو انتخاب داریم، بودن یا نبودن. برای n شیء، تعداد کل حالت‌ها ۲ به توان n است و ضریب‌های سطر همه‌ی این حالت‌ها رو بر اساس تعداد انتخاب‌شده‌ها گروه‌بندی می‌کنن.
نمایش «مسیرها» چه چیزی رو عوض می‌کنه؟
در این نسخه، انتخاب مسیرها شکل تصویر رو عوض نمی‌کنه و همان سطر عددی دیده می‌شه. عددهای مثلث رو می‌شه از نظر ریاضی به شمار مسیرها هم ربط داد، اما خود مسیرها اینجا رسم نمی‌شن.