آزمایشگاه آزاد؛ بدون نیاز به ورود
حد تابع با بزرگ‌نمایی؛ پیوستگی، حفره و پرش
برای فهمیدن حد، خود نقطه همیشه کافی نیست؛ باید ببینی از چپ و راست به چه عددی نزدیک می‌شی. بزرگ‌نمایی کمک می‌کنه رفتار نزدیک x=۲ رو جدا ببینی.
آزمایش رو شروع کنهر سه شکل رو امتحان کن و زوم رو تا ۳۲ بالا ببر. مقدار تابع در x=۲ رو با حد دوطرفه قاطی نکن؛ در حالت پرشی، عدد ۰ در خروجی حد جواب ریاضی نیست و فقط جای نبودن حد رو می‌گیره.
آزمایشگاه در حال آماده شدنه…
حالا خودت امتحان کن
هر بار فقط یک چیز رو تغییر بده تا اثرش رو ببینی. قبل از اجرا، نتیجه رو حدس بزن.
زوم بیشتر، جواب حد رو عوض نمی‌کنه
نوع نمودار رو پیوسته بذار و زوم رو روی ۱ تنظیم کن؛ مقایسه رو بزن. بعد فقط زوم رو به ۸ برسون و دوباره مقایسه کن.
حدست چیه؟ وقتی پنجرهٔ نمودار تنگ‌تر می‌شه، مقدار حد و مقدار تابع در x=۲ تغییر می‌کنن؟
توضیح نتیجه رو ببین
در هر دو حالت حد و مقدار تابع ۲ هستن و تابع در اون نقطه تعریف شده. زوم ۸ فقط بازهٔ افقی نمودار رو از ۰ تا ۴ به ۱٫۷۵ تا ۲٫۲۵ تنگ می‌کنه؛ عددهای حد عوض نمی‌شن.
حد هست، ولی مقدار تابع نیست
نوع نمودار رو حفره بذار، زوم رو ۱ کن و مقایسه رو ثبت کن. بعد فقط زوم رو به ۳۲ ببر و دوباره مقایسه کن.
حدست چیه؟ اگر مقدار تابع در خود x=۲ تعریف نشده باشه، ممکنه از دو طرف به یک عدد نزدیک بشه؟
توضیح نتیجه رو ببین
حد ۴ می‌مونه، ولی تابع در x=۲ تعریف نشده. خروجی مقدار تابع عدد ۰ نشون می‌ده؛ این صفر مقدار تابع نیست و فقط جای خالیِ مقدار تعریف‌نشده رو پر می‌کنه. وضعیت تعریف‌شدن رو هم کنار عدد بخون.
تابع تعریف شده، اما حد دوطرفه نداره
نوع نمودار رو پرشی بذار، زوم رو ۱ کن و مقایسه رو ثبت کن. بعد فقط زوم رو به ۳۲ ببر و دوباره مقایسه کن؛ از سمت چپ و راست x=۲ رو جدا بررسی کن.
حدست چیه؟ اگر از چپ به ۱ و از راست به ۳ نزدیک بشیم، یک حد دوطرفه داریم؟
توضیح نتیجه رو ببین
از چپ به ۱ و از راست به ۳ نزدیک می‌شیم، پس حد دوطرفه وجود نداره؛ بااین‌حال مقدار تابع در x=۲ برابر ۳ و تعریف‌شده‌ست. ویجت در خانهٔ «مقدار حد» عدد ۰ می‌ذاره، اما این صفر حد واقعی نیست و نباید جواب بگیریش.
پشت این حرکت چه خبره؟
حد دوطرفه به هر دو سمت وابسته‌ست
lim_(x->2-) f(x) = lim_(x->2+) f(x) = L
برای اینکه حد در یک نقطه وجود داشته باشه، مقدارهای تابع باید هم از چپ و هم از راست به یک عدد مشترک نزدیک بشن. خود مقدار تابع در همون نقطه می‌تونه با حد فرق داشته باشه یا اصلاً تعریف نشده باشه.
حفره می‌تونه حد داشته باشه
(x^2-4)/(x-2) = x+2, x != 2; limit = 4
در شکل حفره، صورت رو می‌شه به دو عامل تجزیه کرد و عامل مشترک رو برای xهای غیر از ۲ ساده کرد. مقدارهای نزدیک نقطه به ۴ نزدیک می‌شن، اما خود تابع در x=۲ تعریف نشده. نزدیک‌شدن به یک عدد با داشتن مقدار در نقطه یکی نیست.
دو سمت نابرابر، حد دوطرفه نمی‌سازن
lim_(x->2-) f(x) = 1; lim_(x->2+) f(x) = 3
در نمودار پرشی، از چپ به ۱ و از راست به ۳ نزدیک می‌شی؛ چون این دو مقدار یکی نیستن، حد دوطرفه وجود نداره. خود تابع در x=۲ تعریف شده و مقدارش ۳ه، پس تعریف‌شدن تابع هم وجود حد رو تضمین نمی‌کنه.
سؤالت رو بپرس، جوابش رو هم ببین
وقتی توی چت دربارهٔ یک مفهوم درس می‌خونی، دستیار هوش مصنوعی می‌تونه شبیه‌سازی مرتبط رو کنار توضیحش نشون بده. پارامترها رو تغییر می‌دی و با کمک توضیح بعدی، نتیجه رو بهتر می‌فهمی.
شروع یادگیری با چتبرای ادامه در چت، وارد مسیر شروع و ورود می‌شی. نتیجهٔ این آزمایش به چت منتقل نمی‌شه.
نمونهٔ نمایشی از آموزش در چت
چطور حد در حالت حفره ۴ه، ولی خود تابع توی x=۲ تعریف نشده؟
چون حد از رفتار تابع نزدیک نقطه می‌آد، نه از مقدار خود نقطه. برای xهای غیر از ۲، کسر به x+۲ ساده می‌شه؛ پس هرچی از چپ یا راست به ۲ نزدیک‌تر بشیم، مقدارها به ۴ نزدیک‌تر می‌شن. بااین‌حال تابع در خود ۲ مقدار نداره.
سؤال‌های رایج
حد همون مقدار تابع در نقطه‌ست؟
نه همیشه. حد به عددی اشاره می‌کنه که مقدارهای نزدیک نقطه بهش نزدیک می‌شن؛ خود تابع ممکنه مقدار متفاوتی داشته باشه یا در اون نقطه تعریف نشده باشه.
چطور حفره حد داره؟
از دو طرف مقدارها به یک عدد نزدیک می‌شن، حتی اگر خود تابع برای x=۲ مقداری نداشته باشه. در این نمودار، حد ۴ه.
اگه تابع در x=۲ تعریف شده باشه، حد هم حتماً هست؟
نه. در نمودار پرشی مقدار تابع در x=۲ برابر ۳ه، ولی از چپ به ۱ و از راست به ۳ نزدیک می‌شیم؛ پس حد دوطرفه وجود نداره.
چرا برای حالت پرشی مقدار حد صفر نمایش داده می‌شه؟
این صفر جواب ریاضی نیست؛ ویجت ازش به‌عنوان جایگزینِ نبودن حد استفاده می‌کنه. دو طرف نمودار رو بخون تا ببینی حد وجود نداره.
بالا بردن زوم، مقدار حد رو دقیق‌تر حساب می‌کنه؟
نه؛ فقط پنجرهٔ نمودار رو نزدیک‌تر به x=۲ می‌کنه. در این ویجت خروجی عددی همون می‌مونه، اما شکل نزدیک نقطه رو واضح‌تر می‌بینی.