آزمایشگاه آزاد؛ بدون نیاز به ورود
جایگشت و ترکیب چه فرقی دارن؟ ترتیب رو عوض کن
فرض کن از چند گزینه، چندتا رو انتخاب می‌کنی. اگر ترتیب مهم باشه، جایگشت می‌شماری؛ اگر فقط خود انتخاب مهم باشه، ترکیب. تعداد گزینه‌ها، انتخاب‌ها و بازگذاری رو تغییر بده تا فرقشون روشن بشه.
آزمایش رو شروع کنبرای شروع، تعداد گزینه‌ها رو ۵ و تعداد انتخاب رو ۳ بذار و بازگذاری رو خاموش نگه دار. ۶۰ جایگشت و ۱۰ ترکیب می‌بینی؛ هر ترکیب با ۳! ترتیب متفاوت ساخته می‌شه.
آزمایشگاه در حال آماده شدنه…
حالا خودت امتحان کن
هر بار فقط یک چیز رو تغییر بده تا اثرش رو ببینی. قبل از اجرا، نتیجه رو حدس بزن.
ترتیب مهم باشه، چند حالت داریم؟
تعداد گزینه‌ها رو ۵، تعداد انتخاب رو ۳ بذار و بازگذاری رو خاموش نگه دار. تعداد جایگشت و ترکیب رو کنار هم بخون.
حدست چیه؟ برای هر انتخاب سه‌تایی، چند ترتیب متفاوت می‌شه ساخت؟
توضیح نتیجه رو ببین
۶۰ جایگشت و ۱۰ ترکیب داریم؛ نسبت ۶ به ۱ه. هر گروه سه‌تایی ۳! یا ۶ ترتیب داره، برای همین جایگشت‌ها شش برابر ترکیب‌ها می‌شن.
انتخاب با تکرار رو روشن کن
تعداد گزینه‌ها رو ۴ و تعداد انتخاب رو ۳ بذار. یک بار بازگذاری رو خاموش و بار دیگه روشن کن؛ هر دو شمارش رو مقایسه کن.
حدست چیه؟ اگر اجازه بدی یک گزینه چند بار انتخاب بشه، تعداد ترتیب‌ها بیشتر می‌شه یا کم‌تر؟
توضیح نتیجه رو ببین
بدون بازگذاری، ۲۴ جایگشت و ۴ ترکیب داریم؛ با بازگذاری، ۶۴ جایگشت و ۲۰ ترکیب. در حالت با بازگذاری، هر یک از سه جایگاه ۴ انتخاب ممکن داره، پس ۴³ ترتیب ساخته می‌شه.
یک انتخاب بیشتر کن
تعداد گزینه‌ها رو ۵ نگه دار و بازگذاری رو خاموش بذار. تعداد انتخاب رو از ۳ به ۴ ببر و تعداد جایگشت و ترکیب رو بخون.
حدست چیه؟ از بین پنج گزینه، انتخاب چهار تا چند ترکیب داره؟
توضیح نتیجه رو ببین
با سه انتخاب، ۶۰ جایگشت و ۱۰ ترکیب داریم؛ با چهار انتخاب، ۱۲۰ جایگشت و ۵ ترکیب. برای ترکیب چهار‌تایی فقط پنج راه هست، چون در هر راه یک گزینه کنار می‌مونه.
پشت این حرکت چه خبره؟
جایگشت، انتخاب همراه با ترتیب
P(n,r) = n!/(n-r)!
اگر ترتیب عوض بشه و حالت تازه‌ای حساب بشه، جایگشت می‌شماری. برای انتخاب r مورد از n مورد، تعداد جایگشت‌ها برابر n! تقسیم بر (n-r)!ه.
ترکیب، انتخاب بدون شمردن ترتیب‌ها
C(n,r) = n!/(r!*(n-r)!)
اگر فقط بدونی کدوم گزینه‌ها انتخاب شدن، جابه‌جایی ترتیب حالت تازه‌ای نیست. تعداد ترکیب‌های انتخاب r مورد از n مورد برابر n! تقسیم بر r! و (n-r)!ه.
بازگذاری یعنی امکان انتخاب دوباره
P_rep(n,r) = n^r; C_rep(n,r) = C(n+r-1,r)
با بازگذاری، یک گزینه می‌تونه بیشتر از یک بار بیاد. برای ترتیب‌ها، هر جایگاه n انتخاب داره؛ برای ترکیب‌ها هم انتخاب‌های تکراری حساب می‌شن. این حالت با انتخاب بدون بازگذاری فرق داره.
سؤالت رو بپرس، جوابش رو هم ببین
وقتی توی چت دربارهٔ یک مفهوم درس می‌خونی، دستیار هوش مصنوعی می‌تونه شبیه‌سازی مرتبط رو کنار توضیحش نشون بده. پارامترها رو تغییر می‌دی و با کمک توضیح بعدی، نتیجه رو بهتر می‌فهمی.
شروع یادگیری با چتبرای ادامه در چت، وارد مسیر شروع و ورود می‌شی. نتیجهٔ این آزمایش به چت منتقل نمی‌شه.
نمونهٔ نمایشی از آموزش در چت
چرا تعداد جایگشت‌ها از ترکیب‌ها بیشتره؟
چون جایگشت ترتیب‌ها رو جدا می‌شمره. مثلاً برای سه انتخاب متفاوت، هر ترکیب شش ترتیب داره؛ ترکیب فقط گروه انتخاب‌شده رو یکی حساب می‌کنه، اما جایگشت هر شش چیدمان رو می‌شمره.
سؤال‌های رایج
فرق جایگشت با ترکیب چیه؟
در جایگشت، ترتیب انتخاب‌ها مهمه؛ در ترکیب، فقط مهمه چه گزینه‌هایی انتخاب شدن. برای انتخاب سه کتاب از یک قفسه، معمولاً ترکیب مهمه؛ برای ترتیب سه نفر در صف، جایگشت.
چرا فرمول‌ها فاکتوریل دارن؟
فاکتوریل تعداد ترتیب‌های ممکن برای چیدن چند مورد رو جمع می‌کنه. تقسیم بر r! ترتیب‌های تکراریِ یک گروه انتخاب‌شده رو یکی می‌کنه تا از جایگشت به ترکیب برسیم.
بازگذاری در شمارش یعنی چی؟
یعنی بعد از هر انتخاب، گزینه به مجموعه برمی‌گرده و دوباره می‌تونه انتخاب بشه. مثلاً رمز چندرقمی می‌تونه یک رقم رو چند بار داشته باشه؛ در انتخاب بدون بازگذاری، گزینهٔ برداشته‌شده دوباره در دسترس نیست.
اگر تعداد انتخاب از گزینه‌ها بیشتر باشه چی؟
بدون بازگذاری چنین انتخابی ممکن نیست و تعداد حالت‌ها صفره. کنترل‌های این دمو اجازه می‌دن عدد انتخاب از تعداد گزینه بیشتر بشه، ولی خروجی فعلی اون حالت رو درست حساب نمی‌کنه؛ تعداد انتخاب رو برابر یا کم‌تر از گزینه‌ها بذار.