آزمایشگاه آزاد؛ بدون نیاز به ورود
ریشه‌ها چه‌طور شکل یک چندجمله‌ای رو می‌سازن؟
از روی عامل‌های یک چندجمله‌ای می‌تونی ریشه‌ها، درجه و مقدارش رو در صفر پیدا کنی. دو ریشه و توانشون رو عوض کن تا ببینی هرکدوم چه چیزی رو تغییر می‌ده.
آزمایش رو شروع کنریشهها رو روی منفی ۲ و ۱ بذار و توان‌ها رو روی ۱ و ۲ نگه دار. قبل از جابه‌جایی هر لغزنده، حدس بزن درجه‌ی کل و f(۰) چی می‌شن؛ بعد فرمول و دو عدد خروجی رو بررسی کن.
آزمایشگاه در حال آماده شدنه…
حالا خودت امتحان کن
هر بار فقط یک چیز رو تغییر بده تا اثرش رو ببینی. قبل از اجرا، نتیجه رو حدس بزن.
توان فرد و زوج رو مقایسه کن
ریشه‌ی اول رو روی منفی ۲ با توان ۱ بذار و ریشه‌ی دوم رو روی ۱ با توان ۱. خروجی‌ها رو نگاه کن؛ بعد فقط توان دوم رو به ۲ برسون.
حدست چیه؟ کدوم ریشه رفتار عبوری داره و کدوم فقط لمس می‌شه؟ درجه‌ی کل و f(۰) چه تغییری می‌کنن؟
توضیح نتیجه رو ببین
با توان ۱، هر دو توان فردن و تابع از هر دو ریشه می‌گذره. با توان ۲، ریشه‌ی ۱ زوج می‌شه و تابع همون‌جا برمی‌گرده؛ درجه از ۲ به ۳ و f(۰) از منفی ۲ به ۲ می‌رسه.
توان ریشه‌ی دوم رو بیشتر کن
به ریشه‌ها و توان اول دست نزن؛ توان ریشه‌ی دوم رو از ۲ به ۳ برسون.
حدست چیه؟ حدس بزن درجه و f(۰) چه تغییری می‌کنن. رفتار تابع در ریشه‌ی ۱ چه فرقی می‌کنه؟
توضیح نتیجه رو ببین
توان ۳ فرده، پس قاعده‌ی چندجمله‌ای در ریشه‌ی ۱ از لمس و برگشت به عبور تغییر می‌کنه. درجه از ۳ به ۴ می‌رسه و f(۰) از ۲ به منفی ۲ تغییر می‌کنه.
جای ریشه رو جابه‌جا کن
توان‌ها رو روی ۱ و ۲ نگه دار و ریشه‌ی دوم رو از ۱ به ۲ ببر.
حدست چیه؟ آیا درجه عوض می‌شه؟ ریشه‌ی دوم و مقدار f(۰) چه تغییری می‌کنن؟
توضیح نتیجه رو ببین
ریشه‌ی دوم به ۲ می‌ره، اما درجه همون ۳ می‌مونه؛ f(۰) از ۲ به ۸ می‌رسه. جابه‌جایی ریشه، جای صفر تابع رو عوض کرد ولی توان‌ها رو نه.
پشت این حرکت چه خبره؟
ریشه از کجای فرمول پیدا می‌شه؟
f(x) = (x - r1)^m1 * (x - r2)^m2
در فرم ضربی، هر عامل وقتی صفر می‌شه که x برابر ریشه‌ی خودش باشه. پس r₁ و r₂ جاهایی‌ان که f(x) صفر می‌شه؛ اگر دو ریشه یکی باشن، هر دو عامل در همون نقطه صفر می‌شن.
توان فرد و زوج چه فرقی دارن؟
m = 2k; m = 2k + 1
اگر دو ریشه جدا باشن، توان فرد مثل ۱ یا ۳ باعث می‌شه تابع از محور x رد بشه؛ توان زوج مثل ۲ باعث می‌شه به محور برسه و برگرده. توان بزرگ‌ترِ فرد می‌تونه عبور رو تخت‌تر کنه. این قاعده رو از توان می‌فهمی، چون شکل فعلی منحنی رو رسم نمی‌کنه.
درجه‌ی کل چه‌طور به دست می‌آد؟
deg(f) = m1 + m2
درجه‌ی چندجمله‌ای از جمع توان‌های دو عامل می‌آد. جابه‌جایی خود ریشه‌ها این جمع رو عوض نمی‌کنه؛ حتی اگر دو ریشه یکی بشن، درجه باز هم همون جمع توان‌هاست.
عدد f(۰) چی رو نشون می‌ده؟
f(0) = (-r1)^m1 * (-r2)^m2
f(۰) یعنی مقدار تابع وقتی x رو صفر می‌ذاریم. مقدار هر عامل رو در صفر پیدا می‌کنیم و بعد دو مقدار رو در هم ضرب می‌کنیم؛ جواب می‌تونه مثبت، منفی یا صفر باشه.
اگر دو ریشه یکی باشن چه می‌شه؟
(x - r)^m1 * (x - r)^m2 = (x - r)^(m1 + m2)
وقتی r₁ و r₂ برابرن، هر دو عامل به یک نقطه اشاره می‌کنن. توان‌ها روی همون ریشه جمع می‌شن؛ مثلاً توان‌های ۱ و ۲ در یک نقطه، تکرار مؤثر ۳ می‌سازن و رفتار ریشه فرد می‌شه.
سؤالت رو بپرس، جوابش رو هم ببین
وقتی توی چت دربارهٔ یک مفهوم درس می‌خونی، دستیار هوش مصنوعی می‌تونه شبیه‌سازی مرتبط رو کنار توضیحش نشون بده. پارامترها رو تغییر می‌دی و با کمک توضیح بعدی، نتیجه رو بهتر می‌فهمی.
شروع یادگیری با چتبرای ادامه در چت، وارد مسیر شروع و ورود می‌شی. نتیجهٔ این آزمایش به چت منتقل نمی‌شه.
نمونهٔ نمایشی از آموزش در چت
اگه ریشه‌ی دوم توان ۲ داشته باشه، تابع از محور x رد می‌شه؟
نه، وقتی دو ریشه جدا باشن، توان زوج مثل ۲ باعث می‌شه تابع در همون ریشه به محور برسه و به همون سمت برگرده. توان فرد از محور رد می‌شه. اگر دو ریشه یکی باشن، اول توان‌های هر دو عامل رو جمع کن؛ زوج یا فرد بودن جمع، رفتار ریشه رو مشخص می‌کنه. این شکل منحنی رو نمی‌کشه، ولی فرمول و خروجی‌ها رو می‌تونی بررسی کنی.
سؤال‌های رایج
چرا ریشه با توان زوج از محور رد نمی‌شه؟
نزدیک ریشه‌ی زوج، عاملِ مربوط به ریشه دو طرف صفر مقدار مثبت می‌ده؛ پس تابع به محور می‌رسه و برمی‌گرده. اگر عامل دیگری در همون ریشه باشه، باید توان‌ها رو جمع کنی و زوج یا فرد بودن مجموع رو بسنجی.
اگر ریشه‌های اول و دوم یکی باشن چی؟
عامل‌ها همون ریشه رو تکرار می‌کنن، پس توان‌ها جمع می‌شن. مثلاً توان‌های ۱ و ۲ برای یک ریشه، تکرار مؤثر ۳ می‌سازن؛ چون ۳ فرده، تابع از اون ریشه رد می‌شه.
درجه‌ی کل رو چه‌طور پیدا کنم؟
توان‌های دو عامل رو با هم جمع کن. با توان‌های ۱ و ۲، درجه‌ی کل ۳ه؛ جابه‌جایی ریشه‌ها درجه رو عوض نمی‌کنه.
چرا f(۰) گاهی منفی می‌شه؟
برای ریشه‌های منفی ۲ و ۱ با توان‌های ۱ و ۳، در x برابر صفر عامل اول مثبت ۲ و عامل دوم منفی ۱ می‌شه؛ حاصل‌ضرب منفی ۲ه. منفی بودن f(۰) یعنی مقدار تابع در صفر منفی است؛ از روی این عدد به‌تنهایی نمی‌شه علامت ریشه‌ها رو نتیجه گرفت.
اینجا می‌تونم شکل منحنی رو ببینم؟
نه، شکل فعلی فرمول، مقدار f(۰) و درجه رو نشون می‌ده و منحنی رو رسم نمی‌کنه. برای حدس عبور یا لمس، توان هر ریشه رو بخون؛ اگر دو ریشه یکی‌ان، توان‌ها رو اول جمع کن.