آزمایشگاه آزاد؛ بدون نیاز به ورود
تابع توانی؛ توان چه‌طور اثر دوبرابر شدن ورودی رو عوض می‌کنه؟
در تابع f(x)=a*x^n، توان n می‌گه اگر x از ۲ به ۴ بره، مقدار تابع چند برابر می‌شه. ضریب a مقدار خروجی رو مقیاس می‌کنه؛ نسبت دو خروجی به توان بستگی داره.
آزمایش رو شروع کنتوان رو از ۱ شروع کن و ضریب رو روی ۱ بذار. مقدار f(۲) و نسبت f(۴)/f(۲) رو یادداشت کن؛ بعد توان رو روی ۲ بذار. قبل از تغییر، حدس بزن هرکدوم چه می‌شن.
آزمایشگاه در حال آماده شدنه…
حالا خودت امتحان کن
هر بار فقط یک چیز رو تغییر بده تا اثرش رو ببینی. قبل از اجرا، نتیجه رو حدس بزن.
اثر توان یک و دو رو مقایسه کن
ضریب رو روی ۱ بذار و توان رو یک‌بار روی ۱ و یک‌بار روی ۲ تنظیم کن. هر دو بار f(۲) و نسبت f(۴)/f(۲) رو بخون.
حدست چیه؟ وقتی x از ۲ به ۴ دوبرابر می‌شه، برای هر توان خروجی چند برابر می‌شه؟ مقدار f(۲) چه تغییری می‌کنه؟
توضیح نتیجه رو ببین
با توان ۱، f(۲)=۲ و نسبت f(۴)/f(۲)=۲ه؛ با توان ۲، هر دو عدد ۴ می‌شن. در توان ۲، دوبرابر شدن ورودی خروجی رو چهار برابر می‌کنه.
ضریب رو دو برابر کن
توان رو روی ۲ نگه دار. اول ضریب رو روی ۱ بذار و خروجی‌ها رو بخون؛ بعد ضریب رو به ۲ برسون.
حدست چیه؟ آیا با دو برابر شدن ضریب، نسبت f(۴)/f(۲) هم عوض می‌شه؟ f(۲) چند برابر می‌شه؟
توضیح نتیجه رو ببین
f(۲) از ۴ به ۸ می‌رسه، ولی نسبت f(۴)/f(۲) همون ۴ می‌مونه. ضریب، هر دو مقدار تابع رو یکسان مقیاس می‌کنه و در نسبت حذف می‌شه.
توان نیم رو امتحان کن
ضریب رو روی ۱ بذار و توان رو از ۲ به ۰٫۵ تغییر بده. دو خروجی کنار فرمول رو با حالت قبلی مقایسه کن.
حدست چیه؟ با توان نیم، f(۲) و نسبت f(۴)/f(۲) چه‌قدر می‌شن؟ آیا هنوز چهار برابرن؟
توضیح نتیجه رو ببین
در توان ۰٫۵، f(۲) و نسبت f(۴)/f(۲) هر دو ریشه‌ی دوم ۲، یعنی حدود ۱٫۴۱۴ می‌شن؛ در توان ۲ هر دو ۴ بودن. توان نیم، تابع ریشه‌ی دوم رو برای ورودی مثبت می‌سازه.
پشت این حرکت چه خبره؟
تابع توانی چه شکلی از رابطه رو می‌سازه؟
f(x) = a * x^n
در این رابطه، a ضریب مثبته و n توان ورودی x. با تغییر n، مقدار تابع نسبت به x جور دیگه‌ای رشد می‌کنه یا کم می‌شه؛ ضریب a اندازه‌ی همه‌ی خروجی‌ها رو تغییر می‌ده.
توان چه‌طور اثر دوبرابر شدن x رو مشخص می‌کنه؟
f(2x) / f(x) = 2^n; x > 0
اگر x مثبت باشه و دوبرابرش کنیم، نسبت خروجی جدید به قبلی برابر ۲ به توان n می‌شه. برای همین این نسبت به ضریب a وابسته نیست؛ ضریب در صورت و مخرج حذف می‌شه.
ضریب a چه چیزی رو عوض می‌کنه؟
f(2) = a * 2^n; f(4) / f(2) = 2^n
ضریب مثبت، مقدار تابع رو در همه‌ی ورودی‌های مقایسه‌شده همون‌قدر مقیاس می‌کنه. پس f(۲) با ضریب دوبرابر، دوبرابر می‌شه؛ اما نسبت f(۴)/f(۲) ثابت می‌مونه.
توان صفر، منفی یا کسری چه معنی‌ای داره؟
x^0 = 1; x^(-m) = 1 / x^m; x^(1/2) = sqrt(x)
برای x مثبت، توان صفر خروجی ثابت می‌ده؛ توان منفی مقدارهای معکوس می‌سازه، مثل یک بر x. توان نیم یعنی ریشه‌ی دوم x. این ابزار توان رو با گام‌های نیم‌واحدی از منفی ۲ تا ۳ می‌گیره.
سؤالت رو بپرس، جوابش رو هم ببین
وقتی توی چت دربارهٔ یک مفهوم درس می‌خونی، دستیار هوش مصنوعی می‌تونه شبیه‌سازی مرتبط رو کنار توضیحش نشون بده. پارامترها رو تغییر می‌دی و با کمک توضیح بعدی، نتیجه رو بهتر می‌فهمی.
شروع یادگیری با چتبرای ادامه در چت، وارد مسیر شروع و ورود می‌شی. نتیجهٔ این آزمایش به چت منتقل نمی‌شه.
نمونهٔ نمایشی از آموزش در چت
چرا با توان ۲، دوبرابر شدن x خروجی رو چهار برابر می‌کنه؟
چون برای ورودی مثبت، f(2x)/f(x) برابر ۲ به توان n می‌شه. وقتی n=۲ باشه، نسبت ۲^۲ یعنی ۴ه؛ ضریب a در این نسبت حذف می‌شه. این شکل منحنی رو نمی‌کشه، اما دو خروجی f(۲) و نسبت f(۴)/f(۲) رو نشون می‌ده.
سؤال‌های رایج
اثر دوبرابر شدن x به چی بستگی داره؟
به توان n بستگی داره: نسبت خروجی در x=۴ به خروجی در x=۲ برابر ۲^n می‌شه. ضریب a در نسبت حذف می‌شه.
اگر ضریب رو دو برابر کنم نسبت هم دو برابر می‌شه؟
نه؛ f(۲) و f(۴) هر دو دوبرابر می‌شن، ولی چون هر دو با یک ضریب تغییر می‌کنن، نسبت f(۴)/f(۲) ثابت می‌مونه.
توان منفی یعنی خروجی هم منفی می‌شه؟
نه؛ با ضریب مثبت و ورودی مثبت، خروجی مثبت می‌مونه. توان منفی مقدار معکوس می‌ده: با توان منفی ۱، دوبرابر شدن ورودی خروجی رو نصف می‌کنه؛ با توان منفی ۲، یک‌چهارم می‌شه.
توان ۰٫۵ چه‌طور به ریشه‌ی دوم ربط داره؟
برای x مثبت، x به توان ۰٫۵ یعنی ریشه‌ی دوم x. در این حالت، نسبت f(۴)/f(۲) هم ریشه‌ی دوم ۲ می‌شه؛ حدود ۱٫۴۱۴.
شکل منحنی رو کجا می‌بینم؟
نمایش فعلی فقط رابطه و دو خروجی رو می‌ده و خود منحنی رو رسم نمی‌کنه. برای حدس رفتار، توان رو بخون؛ مثلاً توان منفی با بزرگ‌تر شدن ورودی خروجی رو کم می‌کنه.