آزمایشگاه آزاد؛ بدون نیاز به ورود
قدم‌زدن تصادفی؛ فاصله‌ات از مبدأ را بسنج
اگر هر قدم با شانس برابر به چپ یا راست باشد، مسیر بعدی دقیقاً مثل قبلی درنمی‌آید. تعداد قدم‌ها و اندازه‌ی هر قدم را تغییر بده و تفاوتِ مسیرِ یک اجرا با الگوی میانگین را پیدا کن.
آزمایش رو شروع کناز ۵۰ قدم و اندازه‌ی یک واحد شروع کن. اجرا را چند بار تکرار کن؛ هر بار مسیر می‌تواند فرق کند. عدد «فاصله‌ی مورد انتظار» یک مقدار نظری برای موقعیت نهایی است، نه پیش‌بینی دقیقِ یک مسیر.
آزمایشگاه در حال آماده شدنه…
حالا خودت امتحان کن
هر بار فقط یک چیز رو تغییر بده تا اثرش رو ببینی. قبل از اجرا، نتیجه رو حدس بزن.
تعداد قدم‌ها را چهار برابر کن
اندازه‌ی هر قدم را روی یک واحد نگه دار. تعداد قدم‌ها را اول روی ۲۵ و بعد روی ۱۰۰ بگذار و مقدار «فاصله‌ی مورد انتظار» را مقایسه کن.
حدست چیه؟ وقتی تعداد قدم‌ها چهار برابر می‌شود، فاصله‌ی میانجذرِ نهایی هم چهار برابر می‌شود؟
توضیح نتیجه رو ببین
برای اندازه‌ی یک واحد، فاصله‌ی میانجذرِ نهاییِ مورد انتظار از ۵ به ۱۰ می‌رسد؛ ریشه‌ی ۱۰۰ دو برابر ریشه‌ی ۲۵ است. موقعیت نهاییِ یک اجرای تصادفی الزاماً این مقدار نیست و می‌تواند نزدیک مبدأ یا دورتر باشد.
اندازه‌ی قدم را دو برابر کن
تعداد قدم‌ها را روی ۶۴ بگذار. اندازه‌ی هر قدم را یک واحد و سپس دو واحد کن؛ مقدار نظری و مسیر رسم‌شده را جداگانه بخوان.
حدست چیه؟ با دو برابرشدن اندازه‌ی هر قدم، فاصله‌ی مورد انتظار چه تغییری می‌کند؟
توضیح نتیجه رو ببین
فاصله‌ی میانجذرِ نهاییِ مورد انتظار از ۸ به ۱۶ می‌رسد، چون با تعداد قدم ثابت، این مقدار با اندازه‌ی قدم نسبت مستقیم دارد. موقعیت نهایی و بیشترین فاصله در هر اجرای تازه تصادفی‌اند و لزوماً دقیقاً دو برابر نمی‌شوند.
موقعیت نهایی با بیشترین فاصله فرق دارد
تعداد قدم‌ها را روی ۵۰ و اندازه‌ی هر قدم را روی یک واحد نگه دار. چند بار اجرا کن و در هر مسیر، موقعیت نهایی را با بیشترین فاصله از مبدأ مقایسه کن؛ بعد دو خروجی میانجذر را هم بخوان.
حدست چیه؟ آیا ممکن است مسیر تا جایی دور شود و بعد برگردد، طوری که موقعیت نهایی نزدیک مبدأ باشد؟
توضیح نتیجه رو ببین
بله؛ قدم‌های آخر می‌توانند مسیر را به مبدأ نزدیک کنند، حتی اگر قبل‌تر دور شده باشد. «بیشترین فاصله» قله‌ی مسیر را می‌سنجد، «موقعیت نهایی» فقط جای پایان را، و «فاصله‌ی مورد انتظار» اندازه‌ی نظریِ پراکندگیِ پایان است. مسیرهای جداگانه عدد یکسانی نمی‌دهند.
پشت این حرکت چه خبره؟
قدم‌های بی‌طرف
در این مدل هر قدم با احتمال برابر یک واحدِ اندازه‌ی قدم به راست یا چپ می‌رود و جهت قدم‌ها از هم مستقل است. به همین دلیل موقعیت نهایی در میان اجراهای فراوان گرایش ثابتی به چپ یا راست ندارد؛ یک مسیر تنها ممکن است از این الگو دور بیفتد.
میانگین‌مربعِ موقعیت نهایی
E[X_n^2] = n * s^2; RMS_end = s * sqrt(n)
اگر اندازه‌ی هر قدم را بدانیم، میانگینِ مربعِ موقعیت نهایی در اجراهای ممکن برابر تعداد قدم‌ها ضربدر مربعِ اندازه‌ی قدم است. ریشه‌ی این مقدار، «فاصله‌ی مورد انتظار» ابزار است؛ این عدد ویژگیِ مجموعه‌ای از مسیرهاست، نه فاصله‌ی دقیق در هر اجرا.
میانجذرِ یک مسیر
RMS_path = sqrt((x_1^2 + ... + x_n^2) / n)
«فاصله‌ی میانجذر» این ابزار از موقعیتِ پس از هر قدم در همین مسیر حساب می‌شود. پس با میانجذرِ موقعیت نهاییِ مورد انتظار یکی نیست؛ مسیر تصادفی می‌تواند دور برود و برگردد، یا برعکس تا پایان یک‌طرفه بماند.
سؤالت رو بپرس، جوابش رو هم ببین
وقتی توی چت دربارهٔ یک مفهوم درس می‌خونی، دستیار هوش مصنوعی می‌تونه شبیه‌سازی مرتبط رو کنار توضیحش نشون بده. پارامترها رو تغییر می‌دی و با کمک توضیح بعدی، نتیجه رو بهتر می‌فهمی.
شروع یادگیری با چتبرای ادامه در چت، وارد مسیر شروع و ورود می‌شی. نتیجهٔ این آزمایش به چت منتقل نمی‌شه.
نمونهٔ نمایشی از آموزش در چت
اگر در هر قدم به چپ و راست شانس برابری باشد، چرا آخر مسیر همیشه در مبدأ تمام نمی‌شود؟
چون شانس برابر به معنی برگشت اجباری نیست؛ تعداد قدم‌های راست و چپ در یک اجرای خاص می‌تواند فرق کند. در تعداد زیادی اجرای مستقل، موقعیت نهایی میانگینِ صفر دارد و فاصله‌ی میانجذرِ پایانی با ریشه‌ی تعداد قدم‌ها رشد می‌کند. مسیر هر بار می‌تواند شکل دیگری داشته باشد.
سؤال‌های رایج
«فاصله‌ی مورد انتظار» عدد قطعیِ پایان مسیر است؟
نه؛ این عدد میانگذرِ نظریِ موقعیت نهایی در میان اجراهای ممکن است. یک مسیر مشخص می‌تواند فاصله‌ی کمتر یا بیشتری داشته باشد.
چرا دو عدد میانجذر با هم برابر نیستند؟
یکی از فاصله‌های همه‌ی قدم‌ها در یک مسیر حساب می‌شود؛ دیگری میانجذرِ موقعیت نهاییِ مدل نظری است. آن‌ها دو پرسش جدا را جواب می‌دهند.
اگر تعداد قدم‌ها چهار برابر شود، انتظار چه تغییری دارد؟
با ثابت‌ماندن اندازه‌ی قدم، ریشه‌ی تعداد قدم‌ها دو برابر می‌شود؛ پس فاصله‌ی میانجذرِ نهاییِ مورد انتظار دو برابر می‌شود، نه چهار برابر.
چرا با همان تنظیم‌ها، اجرای بعدی مسیر دیگری دارد؟
جهت هر قدم تصادفی انتخاب می‌شود. تنظیم‌ها اندازه و تعداد قدم‌ها را ثابت نگه می‌دارند، اما ترتیب چپ‌و‌راست در اجرای بعدی می‌تواند فرق کند.
چرا بیشترین فاصله از مبدأ گاهی در نمودار دیده نمی‌شود؟
برای مسیرهای بلند، نمودار بخشی از قدم‌های میانی را نمونه‌برداری می‌کند. عدد بیشترین فاصله از همه‌ی قدم‌ها حساب می‌شود، پس ممکن است قله بین نقطه‌های رسم‌شده باشد.