آزمایشگاه آزاد؛ بدون نیاز به ورود
مجانب‌های عمودی و افقی تابع کسری
در تابع f(x)=(۲x+۱)/(x−۲)، مخرج در x=۲ صفر می‌شه و تابع برای xهای خیلی بزرگ به y=۲ نزدیک می‌شه. ضریب‌ها رو تغییر بده و ببین هر مجانب از کدوم بخش فرمول می‌آد.
آزمایش رو شروع کنبا صورت ۲x+۱ و مخرج x−۲ شروع کن. مقدار xای رو پیدا کن که مخرج صفر می‌شه، بعد نسبت ضریب xهای صورت و مخرج رو برای مجانب افقی حساب کن.
آزمایشگاه در حال آماده شدنه…
حالا خودت امتحان کن
هر بار فقط یک چیز رو تغییر بده تا اثرش رو ببینی. قبل از اجرا، نتیجه رو حدس بزن.
عدد ثابت مخرج، مجانب عمودی رو می‌بره
صورت ۲x+۱ و ضریب x در مخرج ۱ بمونه. عدد ثابت مخرج رو از ۲- به ۴- عوض کن و مجانب عمودی و افقی رو بخون.
حدست چیه؟ وقتی مخرج x−۲ به x−۴ تغییر کنه، کدوم مجانب جابه‌جا می‌شه؟
توضیح نتیجه رو ببین
با مخرج x−۲، صفر مخرج در x=۲ه و مجانب افقی y=۲. با مخرج x−۴، صفر مخرج در x=۴ می‌شه؛ مجانب عمودی جابه‌جا شد و افقی همون y=۲ موند.
ضریب‌های x، مجانب افقی رو تعیین می‌کنن
مخرج x−۲ رو ثابت نگه دار. ضریب x در صورت رو اول ۲ و بعد ۴ بذار؛ مجانب عمودی و افقی رو مقایسه کن.
حدست چیه؟ اگر ضریب x در صورت دوبرابر بشه، کدوم مجانب تغییر می‌کنه؟
توضیح نتیجه رو ببین
وقتی ضریب صورت ۲ه و ضریب مخرج ۱، نسبتشون ۲ و مجانب افقی y=۲ه. با ضریب صورت ۴، مجانب افقی y=۴ می‌شه؛ مجانب عمودی x=۲ ثابت می‌مونه.
همهٔ ضریب‌ها رو با هم دوبرابر کن
فرمول اولیه رو با a=۲، b=۱، c=۱ و d=۲- یادداشت کن. بعد صورت رو به ۴x+۲ و مخرج رو به ۲x−۴ تغییر بده؛ مجانب‌ها رو مقایسه کن.
حدست چیه؟ اگر صورت و مخرج رو با یک عدد مثبت یکسان ضرب کنیم، تابع و مجانب‌ها عوض می‌شن؟
توضیح نتیجه رو ببین
(۲x+۱)/(x−۲) و (۴x+۲)/(۲x−۴) برای همهٔ xهایی که مخرج صفر نیست یک تابع‌اند. هر دو مجانب عمودی x=۲ و افقی y=۲ دارن؛ دوبرابرکردن همهٔ ضریب‌ها نسبت‌ها رو عوض نکرد.
پشت این حرکت چه خبره؟
صفر مخرج، نامزد مجانب عمودیه
x_vertical = -d / c
برای cx+d=۰ حل کن تا x=−d/c به دست بیاد. اگر صورت در همین x صفر نشه، این نقطه مجانب عمودی تابع خطیِ کسریه؛ اگر صورت هم صفر بشه، ممکنه به‌جای مجانب یک حفره داشته باشی.
نسبت ضریب‌های x، مجانب افقیه
y_horizontal = a / c
چون صورت و مخرج هر دو درجهٔ یک دارن، برای xهای خیلی بزرگ بخش‌های ax و cx تعیین‌کننده می‌شن. نسبت a به c جایگاهی رو می‌ده که تابع بهش نزدیک می‌شه.
مجانب، مقدار تابع در نقطه نیست
در x مجانب عمودی، مخرج صفر می‌شه و تابع تعریف نشده؛ مجانب افقی هم رفتاریه که تابع برای xهای خیلی بزرگ بهش نزدیک می‌شه. این خط‌ها خودشون جای جواب یا مقدار تابع نیستن.
سؤالت رو بپرس، جوابش رو هم ببین
وقتی توی چت دربارهٔ یک مفهوم درس می‌خونی، دستیار هوش مصنوعی می‌تونه شبیه‌سازی مرتبط رو کنار توضیحش نشون بده. پارامترها رو تغییر می‌دی و با کمک توضیح بعدی، نتیجه رو بهتر می‌فهمی.
شروع یادگیری با چتبرای ادامه در چت، وارد مسیر شروع و ورود می‌شی. نتیجهٔ این آزمایش به چت منتقل نمی‌شه.
نمونهٔ نمایشی از آموزش در چت
چرا مجانب عمودی از مخرج می‌آد ولی مجانب افقی از نسبت ضریب‌های x؟
مجانب عمودی جاییه که مخرج صفر می‌شه، یعنی cx+d=۰ و x=−d/c. وقتی x خیلی بزرگ می‌شه، جمله‌های ax و cx از عددهای ثابت مهم‌ترن؛ برای همین تابع به نسبت a/c نزدیک می‌شه و اون خط مجانب افقیه.
سؤال‌های رایج
برای پیدا کردن مجانب عمودی از کجا شروع کنم؟
مخرج رو برابر صفر بذار و x رو پیدا کن. بعد صورت رو در همون x بررسی کن؛ اگر صورت هم صفر بشه، ممکنه با یک حفره روبه‌رو باشی، نه مجانب عمودی.
چرا مجانب افقی برابر a/c می‌شه؟
در این تابع، صورت و مخرج هر دو جملهٔ خطی دارن. برای xهای خیلی بزرگ، ax و cx نسبت به عددهای ثابت غالب می‌شن، پس نسبت تابع به a/c نزدیک می‌شه.
حفره با مجانب عمودی چه فرقی داره؟
اگر یک عامل هم‌زمان از صورت و مخرج حذف بشه، ممکنه در نمودار فقط یک نقطهٔ گمشده بمونه و تابع اطرافش به عدد ثابتی نزدیک باشه؛ این حفره‌ست. نزدیک مجانب عمودی، مقدار تابع بزرگ و کوچک می‌شه و بی‌کران می‌ره.
اگر صورت و مخرج رو در ۲ ضرب کنم، تابع عوض می‌شه؟
نه، تا وقتی هم صورت و هم مخرج رو با هم در یک عدد ناصفر ضرب کنی، مقدار کسر برای xهای مجاز همونه. نسبت a/c و ریشهٔ مخرج هم تغییر نمی‌کنن.