آزمایشگاه آزاد؛ بدون نیاز به ورود
پیدا کردن ریشه با دوبخشی و نیوتون
ریشه جاییه که مقدار تابع صفر می‌شه. دوبخشی و نیوتون هر دو جواب تقریبی می‌سازن، اما یکی بازه رو نصف می‌کنه و اون یکی از نقطهٔ شروع قدم برمی‌داره.
آزمایش رو شروع کنبرای مقایسه، اول روش نیوتون رو با شروع ۱ اجرا کن و بعد دوبخشی رو انتخاب کن. نقطهٔ شروع فقط روی نیوتون اثر داره؛ دوبخشی همیشه از بازهٔ ثابت خودش استفاده می‌کنه.
آزمایشگاه در حال آماده شدنه…
حالا خودت امتحان کن
هر بار فقط یک چیز رو تغییر بده تا اثرش رو ببینی. قبل از اجرا، نتیجه رو حدس بزن.
دو روش، یک ریشهٔ مثبت
نقطهٔ شروع رو ۱ بذار و روش نیوتون رو اجرا و ثبت کن. بعد روش رو به دوبخشی تغییر بده و نتیجه رو مقایسه کن.
حدست چیه؟ کدوم روش با این تنظیم، در تعداد تکرار کمتری به عددی نزدیک ریشه می‌رسه؟
توضیح نتیجه رو ببین
با شروع ۱، نیوتون ریشهٔ ۱٫۴۱۴۲ رو در ۴ تکرار گزارش می‌کنه؛ دوبخشی هم به ۱٫۴۱۴۲ می‌رسه و ۲۲ تکرار گزارش می‌کنه. این فقط خروجی همین تنظیماته؛ بازهٔ دوبخشی این ویجت در سرها تغییر علامت نداره، پس از این مقایسه دربارهٔ تضمین روش نتیجه نگیر.
از دو طرف، دو ریشه پیدا کن
روش رو روی نیوتون بذار. با نقطهٔ شروع ۱ اجرا کن، بعد شروع رو به منفی ۱ تغییر بده و هر دو نتیجه رو مقایسه کن.
حدست چیه؟ چون نمودار تابع دو بار محور افقی رو قطع می‌کنه، شروع مثبت و منفی به یک جواب می‌رسن؟
توضیح نتیجه رو ببین
شروع ۱ به ریشهٔ مثبت حدود ۱٫۴۱۴۲ می‌رسه و شروع منفی ۱ به ریشهٔ منفی حدود منفی ۱٫۴۱۴۲. هر دو مقدار تابع رو نزدیک صفر می‌کنن. خروجی خطای ریشهٔ منفی حدود ۲٫۸۲۸۴۲۷ می‌شه، چون ویجت فاصله تا ریشهٔ مثبت رو حساب می‌کنه.
شروع نزدیک‌تر، تکرار کمتر
روش نیوتون رو نگه دار و نقطهٔ شروع رو ۰٫۱ بذار؛ تعداد تکرار رو یادداشت کن. بعد شروع رو ۱ کن و دوباره اجرا کن.
حدست چیه؟ در این دو اجرا، کدوم نقطهٔ شروع با تکرارهای کمتری به ریشهٔ مثبت می‌رسه؟
توضیح نتیجه رو ببین
شروع ۰٫۱ در ۷ تکرار به حدود ۱٫۴۱۴۲ می‌رسه؛ شروع ۱ در ۴ تکرار به همین ریشه نزدیک می‌شه. نیوتون در این مثال با شروع نزدیک‌تر زودتر جمع می‌شه، اما برای همهٔ تابع‌ها چنین تضمینی نداره.
پشت این حرکت چه خبره؟
ریشه یعنی جایی که تابع صفره
x*x - 2 = 0; x = sqrt(2) || x = -sqrt(2)
برای تابع ایکس به توان دو منهای دو، نمودار دو بار محور افقی رو قطع می‌کنه. پس معادله دو جواب داره: یکی مثبت و یکی منفی.
دوبخشی بازهٔ دارای تغییر علامت رو نصف می‌کنه
f(a)*f(b) < 0
اگر تابع پیوسته باشه و مقدارش در دو سر بازه علامت مخالف داشته باشه، دوبخشی می‌تونه بازه‌ای رو نگه داره که ریشه داخلشه و هر بار کوچک‌ترش کنه. این ویجت از بازهٔ ثابت منفی ۲ تا ۴ استفاده می‌کنه؛ مقدار تابع در هر دو سر مثبته، پس شرط معمول تضمین دوبخشی این‌جا برقرار نیست.
نیوتون از شیب برای ساختن حدس بعدی کمک می‌گیره
x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n); x_(n+1) = (x_n + 2/x_n)/2
نیوتون از نقطهٔ شروع حرکت می‌کنه و با شیب نمودار، حدس بعدی رو می‌سازه. برای ایکس به توان دو منهای دو، شروع مثبت به ریشهٔ مثبت و شروع منفی به ریشهٔ منفی می‌رسه.
ریشهٔ درست می‌تونه خطای مدل رو بزرگ نشون بده
residual = |f(x)|; error = |x - sqrt(2)|
مقدار تابع در هر دو ریشه نزدیک صفره. اما عدد «خطا»ی ویجت فاصله تا ریشهٔ مثبت رو می‌سنجه؛ برای همین جواب منفی هم با وجود صفر کردن تابع، خطای بزرگی می‌گیره.
سؤالت رو بپرس، جوابش رو هم ببین
وقتی توی چت دربارهٔ یک مفهوم درس می‌خونی، دستیار هوش مصنوعی می‌تونه شبیه‌سازی مرتبط رو کنار توضیحش نشون بده. پارامترها رو تغییر می‌دی و با کمک توضیح بعدی، نتیجه رو بهتر می‌فهمی.
شروع یادگیری با چتبرای ادامه در چت، وارد مسیر شروع و ورود می‌شی. نتیجهٔ این آزمایش به چت منتقل نمی‌شه.
نمونهٔ نمایشی از آموزش در چت
اگه نیوتون رو با شروع منفی ۱ اجرا کنم، چرا جواب منفی ریشهٔ معادله‌ست ولی خطاش حدود ۲٫۸۲۸۴۲۷ درمی‌آد؟
چون ایکس به توان دو منهای دو هم در ریشهٔ مثبت و هم در ریشهٔ منفی صفر می‌شه؛ شروع منفی ۱ به حدود منفی ۱٫۴۱۴۲ می‌رسه. عدد خطا فاصلهٔ این جواب تا ریشهٔ مثبت ۱٫۴۱۴۲ رو می‌سنجه؛ برای دیدن این‌که معادله چقدر به صفر نزدیک شده، مقدار تابع رو بخون.
سؤال‌های رایج
معادلهٔ ایکس به توان دو منهای دو چند ریشه داره؟
دو ریشه داره: ریشهٔ مثبت حدود ۱٫۴۱۴۲ و ریشهٔ منفی حدود منفی ۱٫۴۱۴۲. با قرار دادن هرکدوم در تابع، مقدار نزدیک صفر می‌شه.
چرا نقطهٔ شروع دوبخشی نتیجه رو عوض نمی‌کنه؟
چون این ویجت برای روش دوبخشی از یک بازهٔ ثابت، از منفی ۲ تا ۴، استفاده می‌کنه. لغزندهٔ نقطهٔ شروع فقط برای روش نیوتونه.
دوبخشی معمولاً چه شرطی برای بازه می‌خواد؟
تابع باید در بازه پیوسته باشه و دو سر بازه مقدارهای با علامت مخالف داشته باشن. این شرط تضمین می‌کنه که یک ریشه بین دو سر هست؛ بازهٔ این ویجت چنین تغییری در علامت نداره.
چرا نقطهٔ شروع نیوتون مهمه؟
هر حدس بعدی به حدس قبلی و شیب تابع در همون نقطه وابسته‌ست. برای این تابع، شروع در سمت منفی یا مثبت می‌تونه نیوتون رو به یکی از دو ریشه ببره.
عدد خطا با مقدار تابع در ریشه چه فرقی داره؟
مقدار تابع می‌گه نقطه چقدر معادله رو صفر می‌کنه؛ خطای این ویجت فاصلهٔ جواب از ریشهٔ مثبت رو می‌سنجه. برای همین ریشهٔ منفی می‌تونه جواب معتبر باشه و هم‌زمان خطای بزرگی داشته باشه.