آزمایشگاه آزاد؛ بدون نیاز به ورود
ریشه‌های واحد؛ تقارن روی دایرهٔ مختلط
در حالت چرخش صفر، ریشه‌ها به‌طور منظم دور دایرهٔ واحد پخش می‌شن. هر نقطه فاصلهٔ یک از مبدأ داره؛ لغزندهٔ چرخش همه‌شون رو با هم می‌چرخونه.
آزمایش رو شروع کنتعداد ریشه‌ها رو از ۲ تا ۱۲ عوض کن و زاویه رو هم تغییر بده. اندازهٔ هر ریشه همیشه ۱ می‌مونه و جمع برداریشون از نظر ریاضی صفره؛ با نمایش سه رقم، خروجی جمع صفر دیده می‌شه.
آزمایشگاه در حال آماده شدنه…
حالا خودت امتحان کن
هر بار فقط یک چیز رو تغییر بده تا اثرش رو ببینی. قبل از اجرا، نتیجه رو حدس بزن.
شش ریشه رو ۳۰ درجه بچرخون
تعداد ریشه‌ها رو روی ۶ بذار و چرخش رو روی ۰ تنظیم کن؛ مقایسه رو بزن. بعد فقط چرخش رو به ۳۰ درجه تغییر بده و دوباره مقایسه کن.
حدست چیه؟ چرخش همهٔ نقطه‌ها، اندازهٔ هر ریشه یا اندازهٔ جمعشون رو عوض می‌کنه؟
توضیح نتیجه رو ببین
نقطهٔ اول از زاویهٔ ۰ به ۳۰ درجه می‌ره، ولی اندازهٔ هر ریشه ۱ و اندازهٔ جمع در خروجی ۰ می‌مونه. این چرخش چندضلعی منظمه، اما با چرخش ۳۰ درجه نقطه‌ها دیگه جواب معادلهٔ ریشه‌های ششمِ یک نیستن: توان ششم هر کدوم منفی ۱ می‌شه.
سه ریشه رو با هشت ریشه مقایسه کن
چرخش رو صفر بذار و تعداد رو ۳ کن؛ یک‌بار مقایسه کن. بعد فقط تعداد رو به ۸ تغییر بده و دوباره مقایسه رو بزن.
حدست چیه؟ وقتی تعداد نقطه‌ها زیاد می‌شه، فاصلهٔ زاویه‌ای بین ریشه‌های کنار هم چه تغییری می‌کنه؟
توضیح نتیجه رو ببین
سه ریشه با فاصلهٔ زاویه‌ای ۱۲۰ درجه پخش می‌شن و هشت ریشه با فاصلهٔ ۴۵ درجه. در هر دو حالت اندازهٔ هر ریشه ۱ و اندازهٔ جمع ۰ه؛ تعداد نقطه‌ها بیشتر شده، نه اندازهٔ دایره.
یک فاصلهٔ کامل بچرخون
تعداد رو ۴ و چرخش رو صفر بذار؛ مقایسه کن. بعد فقط زاویه رو به ۹۰ درجه تغییر بده و دوباره مقایسه رو بزن.
حدست چیه؟ چرخش ۹۰ درجه‌ای یک چندضلعی چهارگوش، مجموعهٔ رأس‌ها رو عوض می‌کنه؟
توضیح نتیجه رو ببین
فاصلهٔ هر دو رأس ۹۰ درجه‌ست؛ چرخش ۹۰ درجه‌ای مجموعهٔ چهار نقطه رو همون‌جا نگه می‌داره و فقط برچسب ریشهٔ اول به رأس بعدی می‌ره. زاویهٔ ریشهٔ اول ۹۰ درجه نشون داده می‌شه و جمع همچنان صفره.
پشت این حرکت چه خبره؟
ریشه‌ها رئوس یک چندضلعی منظم‌اند
theta = rotation*pi/180; z_k = exp(i*(2*pi*k/n + theta)); k = 0,...,n-1; |z_k| = 1
تعداد ریشه‌ها رو برابر n بگیر؛ زاویهٔ هر ریشه از جمع زاویهٔ جایگاهش و چرخش کلی به‌دست می‌آد. همهٔ نقطه‌ها روی دایرهٔ واحدن و فاصلهٔ زاویه‌ای‌شون برابره. لغزنده درجه رو می‌گیره، اما فرمول نمایی زاویه رو به رادیان می‌خواد.
جمع برداری ریشه‌ها خنثی می‌شه
sum_(k=0)^(n-1) exp(i*2*pi*k/n) = 0, n >= 2
ریشه‌ها دور دایره در جهت‌های متوازن قرار می‌گیرن؛ بردارها همدیگه رو خنثی می‌کنن و جمع به مبدأ برمی‌گرده. چرخاندن همهٔ بردارها با یک زاویه، جمع صفر رو هم صفر نگه می‌داره.
چرخش دلخواه، معادله رو هم عوض می‌کنه
z_k^n = exp(i*n*theta); theta = 2*pi*m/n, m in Z => z_k^n = 1
در حالت چرخش صفر، نقطه‌ها دقیقاً ریشه‌های معادلهٔ z به توان n برابر یک هستن. چرخش به‌اندازهٔ یک فاصلهٔ کامل، مجموعهٔ ریشه‌ها رو فقط جابه‌جا می‌کنه؛ زاویه‌های دلخواه دیگه همون چندضلعی منظم رو می‌چرخونن، اما لزوماً جواب همون معادله نیستن.
سؤالت رو بپرس، جوابش رو هم ببین
وقتی توی چت دربارهٔ یک مفهوم درس می‌خونی، دستیار هوش مصنوعی می‌تونه شبیه‌سازی مرتبط رو کنار توضیحش نشون بده. پارامترها رو تغییر می‌دی و با کمک توضیح بعدی، نتیجه رو بهتر می‌فهمی.
شروع یادگیری با چتبرای ادامه در چت، وارد مسیر شروع و ورود می‌شی. نتیجهٔ این آزمایش به چت منتقل نمی‌شه.
نمونهٔ نمایشی از آموزش در چت
چرا بعد از چرخش ۳۰ درجه، نقطه‌ها هنوز منظم‌ان ولی دیگه ریشهٔ ششمِ یک نیستن؟
چرخش همهٔ رئوس رو به یک اندازه جابه‌جا می‌کنه، پس نظم و فاصله از مرکز باقی می‌مونه. اما برای ریشه‌های ششمِ یک، چرخش باید مضرب ۶۰ درجه باشه تا مجموعهٔ جواب‌ها همون بمونه. در چرخش ۳۰ درجه، توان ششم هر نقطه منفی ۱ می‌شه، نه یک.
سؤال‌های رایج
ریشه‌های واحد یعنی چی؟
ریشه‌های معادلهٔ z به توان n برابر یک هستن؛ برای هر n، تعدادشون n تاست و به فاصله‌های برابر روی دایرهٔ واحد قرار می‌گیرن.
چرا قدر مطلق هر ریشه همیشه ۱ه؟
چون هر ریشه روی دایره‌ای با شعاع یک از مبدأ قرار داره. چرخش زاویه رو عوض می‌کنه، نه فاصله از مبدأ.
چرا اندازهٔ جمع ریشه‌ها صفر می‌شه؟
بردارهایی که دور دایره پخش شدن، در جهت‌های متوازن همدیگه رو خنثی می‌کنن. یک چرخش مشترک هم جمع صفر رو تغییر نمی‌ده.
زاویهٔ لغزنده درجه‌ست یا رادیان؟
لغزنده و خروجی زاویهٔ ریشهٔ اول بر حسب درجه‌ان. فرمول‌های نمایی از رادیان استفاده می‌کنن؛ هر درجه برابر pi/180 رادیانه.
هر چرخشی ریشه‌های همون معادله رو نگه می‌داره؟
نه. چرخش به‌اندازهٔ ۳۶۰/n درجه یک رأس رو جای رأس بعدی می‌ذاره و مجموعهٔ جواب‌ها ثابت می‌مونه؛ چرخش دلخواه ممکنه معادلهٔ حاصل رو هم عوض کنه.