آزمایشگاه آزاد؛ بدون نیاز به ورود
میانگین نمونه‌ها چرا پخش می‌شن؟
هر بار از یک جمعیت نمونه می‌گیریم، میانگین کمی فرق می‌کنه. اندازه‌ی نمونه رو زیاد کن و ببین این میانگین‌ها چطور کنار هم قرار می‌گیرن.
آزمایش رو شروع کناندازهی نمونه تعداد عددهاییه که برای هر میانگین برمی‌داری؛ تعداد نمونه‌ها می‌گه چند میانگین جدا بسازی. بعد از تغییر کنترل‌ها، اجرا رو بزن تا نمونه‌های تازه تولید بشن.
آزمایشگاه در حال آماده شدنه…
حالا خودت امتحان کن
هر بار فقط یک چیز رو تغییر بده تا اثرش رو ببینی. قبل از اجرا، نتیجه رو حدس بزن.
پنجاه میانگین از نمونه‌های کوچک
اندازه‌ی نمونه رو روی ۱۰ و تعداد نمونه‌ها رو روی ۵۰ بذار و اجرا کن. میانگینِ میانگین‌ها و خطای استاندارد رو یادداشت کن.
حدست چیه؟ هر میانگین دقیقاً ۵۰ می‌شه یا کمی بالا و پایین می‌ره؟
توضیح نتیجه رو ببین
مثلاً یک دسته‌ی نمونه‌گیری‌شده می‌تونه میانگینِ میانگین‌ها رو حدود ۴۹٫۹ و انحراف معیار میانگین‌ها رو حدود ۷٫۹ بده. این فقط یک نمونه‌ست؛ اجرای تو ممکنه عددهای کمی متفاوتی داشته باشه.
برای هر میانگین عددهای بیشتری بگیر
تعداد نمونه‌ها رو روی ۵۰ نگه دار، ولی اندازه‌ی هر نمونه رو از ۱۰ به ۴۰ برسون و دوباره اجرا کن.
حدست چیه؟ وقتی هر میانگین از عددهای بیشتری ساخته می‌شه، پراکندگی میانگین‌ها بیشتر می‌شه یا کمتر؟
توضیح نتیجه رو ببین
در یک مثال محاسبه‌شده، با اندازه‌ی نمونه‌ی ۴۰ خطای استاندارد حدود ۴٫۶ بود و میانگینِ میانگین‌ها نزدیک ۵۰ موند. نمونه‌ی بزرگ‌تر معمولاً میانگین‌های کم‌پراکندگی‌تری می‌ده؛ عددهای اجرای تو می‌تونن کمی فرق کنن.
تعداد میانگین‌ها رو زیاد کن
اندازه‌ی نمونه رو دوباره روی ۱۰ بذار و تعداد نمونه‌ها رو از ۵۰ به ۱۰۰ برسون. این بار چند نقطه‌ی بیشتر روی نمودار می‌بینی.
حدست چیه؟ با دو برابر شدن تعداد میانگین‌ها، خودِ پراکندگی باید کم بشه یا فقط برآوردش قابل‌اعتمادتر می‌شه؟
توضیح نتیجه رو ببین
در یک مثال با ۱۰۰ میانگین، خطای استاندارد حدود ۸٫۶ بود. با زیاد کردن تعداد میانگین‌ها، پراکندگی نظری جمعیت میانگین‌ها لزوماً کوچک نمی‌شه؛ فقط برآورد عددی ما از اون پراکندگی پرنمونه‌تر می‌شه. اجرای تو ممکنه نتیجه‌ی کمی متفاوتی بده.
پشت این حرکت چه خبره؟
توزیع میانگین نمونه‌ها
Xbar = (x_1 + ... + x_n)/n
اگر بارها نمونه‌ای هم‌اندازه بگیریم و میانگین هر نمونه رو حساب کنیم، مجموعه‌ی اون میانگین‌ها یک توزیع نمونه‌گیری می‌سازه. جمعیت اصلی این شبیه‌سازی یکنواخته: عددها به‌طور تصادفی از صفر تا ۱۰۰ انتخاب می‌شن.
خطای استاندارد به چه معناست؟
SE(Xbar) = sigma/sqrt(n)
خطای استاندارد، میزان پخش‌شدن میانگین‌های نمونه از میانگین جمعیته. برای اندازه‌ی نمونه‌ی بزرگ‌تر، این پخش معمولاً کم‌تره. ویجت مقدارش رو از میانگین‌هایی که همین اجرا ساخته برآورد می‌کنه؛ یک برآورد تصادفی است، نه عدد نظری ثابت.
قضیه‌ی حد مرکزی
Xbar_n ~ Normal(mu, sigma^2/n)
با بزرگ‌تر شدن اندازه‌ی نمونه، توزیع میانگین نمونه‌ها معمولاً به شکل زنگوله‌ای نزدیک می‌شه؛ حتی اگر جمعیت اصلی اینجا یکنواخت باشه. این یک نتیجه‌ی کلی برای نمونه‌گیری مستقل و تکراریه، نه شکل مستقیمی که این نمودار خطی نمایش می‌ده.
سؤالت رو بپرس، جوابش رو هم ببین
وقتی توی چت دربارهٔ یک مفهوم درس می‌خونی، دستیار هوش مصنوعی می‌تونه شبیه‌سازی مرتبط رو کنار توضیحش نشون بده. پارامترها رو تغییر می‌دی و با کمک توضیح بعدی، نتیجه رو بهتر می‌فهمی.
شروع یادگیری با چتبرای ادامه در چت، وارد مسیر شروع و ورود می‌شی. نتیجهٔ این آزمایش به چت منتقل نمی‌شه.
نمونهٔ نمایشی از آموزش در چت
چرا با بزرگ‌تر شدن اندازه‌ی نمونه، میانگین‌ها کمتر از هم فاصله می‌گیرن؟
هر میانگین از عددهای تصادفی بیشتری ساخته می‌شه، برای همین بالا و پایین شدن‌های جداگانه بیشتر همدیگه رو خنثی می‌کنن. توی فرمول، خطای استاندارد با ریشه‌ی دوم اندازه‌ی نمونه نسبت وارون داره. نقطه‌های این ویجت میانگین‌های تولیدشده‌ان؛ برای دیدن شکل خود توزیع به نمودار فراوانی نیاز داریم.
سؤال‌های رایج
میانگینِ میانگین‌ها باید دقیقاً ۵۰ باشه؟
مرکز جمعیت یکنواخت صفر تا ۱۰۰ برابر ۵۰ است، پس میانگین نمونه‌ها معمولاً دوروبرش می‌مونه. تعداد نمونه‌ها محدوده و انتخاب تصادفیه، بنابراین یک اجرا ممکنه کمی بالا یا پایین‌تر دربیاد.
اندازه‌ی نمونه چه فرقی با تعداد نمونه‌ها داره؟
اندازه‌ی نمونه می‌گه هر میانگین از چند عدد ساخته می‌شه. تعداد نمونه‌ها می‌گه چند بار این کار رو انجام می‌دیم و در نتیجه چند میانگین داریم.
اگر تعداد نمونه‌ها رو زیاد کنم، خطای استاندارد کم می‌شه؟
نه لزوماً؛ خطای استاندارد به پراکندگی و اندازه‌ی هر نمونه مربوطه. زیاد کردن تعداد میانگین‌ها، برآورد ما از این پراکندگی رو باثبات‌تر می‌کنه، اما خودش پراکندگی واقعی رو کم نمی‌کنه.
این نمودار توزیع زنگوله‌ای میانگین‌ها رو نشون می‌ده؟
نه دقیقاً. نمودار نقطه‌ها رو بر اساس شماره‌ی تولید به هم وصل می‌کنه و هیستوگرام نیست. قضیه‌ی حد مرکزی درباره‌ی شکل توزیع میانگین‌هاست؛ این ویجت فقط میانگین‌های اجرا رو پشت‌سرهم نمایش می‌ده.