آزمایشگاه آزاد؛ بدون نیاز به ورود
روش اویلر چطور معادلهٔ دیفرانسیل رو حل می‌کنه؟
معادلهٔ دیفرانسیل می‌گه در هر نقطه شیب چقدره. روش اویلر از یک مقدار شروع می‌کنه، شیب رو می‌خونه و با قدم‌های کوتاه منحنی تقریبی می‌سازه؛ گام رو تغییر بده و با جواب دقیق مقایسه کن.
آزمایش رو شروع کنتابع ساده رو با مقدار شروع ۱ و گام ۰٫۲۵ امتحان کن. جواب تقریبی در x برابر ۵ حدود ۸۶٫۷۴ و جواب دقیق حدود ۱۴۸٫۴۱ می‌شه.
آزمایشگاه در حال آماده شدنه…
حالا خودت امتحان کن
هر بار فقط یک چیز رو تغییر بده تا اثرش رو ببینی. قبل از اجرا، نتیجه رو حدس بزن.
گام بزرگ‌تر چه بلایی سر تقریب می‌آره؟
نوع ساده و مقدار شروع ۱ رو ثابت نگه دار. گام رو از ۰٫۲۵ به ۰٫۵ تغییر بده و هر دو تقریب رو با جواب دقیق مقایسه کن.
حدست چیه؟ گام بزرگ‌تر معمولاً خطا رو کم می‌کنه یا زیاد؟
توضیح نتیجه رو ببین
با گام ۰٫۲۵، تقریب ۸۶٫۷۴ و خطای نسبی حدود ۴۱٫۶٪ه؛ با گام ۰٫۵، تقریب به ۵۷٫۶۷ می‌رسه و خطا حدود ۶۱٫۱٪ می‌شه. جواب دقیق در x برابر ۵ حدود ۱۴۸٫۴۱ه؛ گام ریزتر اینجا دقیق‌تره.
معادلهٔ لجستیک رو با دو اندازهٔ گام حل کن
نوع لجستیک و مقدار شروع ۰٫۵ رو نگه دار. گام رو یک بار ۰٫۲۵ و یک بار ۰٫۵ بذار.
حدست چیه؟ وقتی مقدار دقیق به ۱ نزدیک می‌شه، کدوم تقریب در x برابر ۵ نزدیک‌تر درمی‌آد؟
توضیح نتیجه رو ببین
جواب دقیق حدود ۰٫۹۹۳ه. با گام ۰٫۲۵، تقریب ۰٫۹۹۶ و خطای نسبی ۰٫۳٪ه؛ با گام ۰٫۵، تقریب ۰٫۹۹۸ و خطا ۰٫۵٪ه. هر دو بالاتر از جواب دقیقن، ولی گام کوچک‌تر نزدیک‌تره.
مقدار شروع رو دوبرابر کن
نوع ساده و گام ۰٫۲۵ رو ثابت نگه دار. مقدار شروع رو از ۱ به ۲ تغییر بده.
حدست چیه؟ جواب تقریبی و دقیق هر دو دوبرابر می‌شن؟ خطای نسبی چی؟
توضیح نتیجه رو ببین
تقریب از ۸۶٫۷۴ به ۱۷۳٫۴۷ و جواب دقیق از ۱۴۸٫۴۱ به ۲۹۶٫۸۳ می‌رسه؛ هر دو دوبرابر می‌شن. خطای نسبی حدود ۴۱٫۶٪ می‌مونه، چون مقدار شروع فقط کل جواب رو مقیاس می‌کنه.
پشت این حرکت چه خبره؟
هر قدم از شیب همین نقطه استفاده می‌کنه
y_(n+1) = y_n + h * f(x_n, y_n)
از مقدار فعلی y، شیب قانون رو حساب کن و در اندازهٔ گام ضربش کن؛ این تغییر رو به مقدار فعلی اضافه کن تا قدم بعدی ساخته بشه.
گام ریزتر معمولاً خطای اویلر رو کم می‌کنه
local_step = h * f(x_n, y_n)
گام کوتاه‌تر منحنی رو با پله‌های بیشتری دنبال می‌کنه و معمولاً به جواب دقیق نزدیک‌تر می‌شه. اما اگر قانون رشد تند داشته باشه یا گام نسبت بهش بزرگ باشه، تقریب ممکنه ناپایدار بشه.
سه قانون شیب، سه جور رشد می‌سازن
y' = y; y' = y * (1 - y); y' = 0.5 * y
نوع ساده با y متناسبه؛ نوع نمایی با نصف y؛ و نوع لجستیک با y ضربدر یک منهای y. هر کدوم رو با جواب دقیق خودش مقایسه کن.
سؤالت رو بپرس، جوابش رو هم ببین
وقتی توی چت دربارهٔ یک مفهوم درس می‌خونی، دستیار هوش مصنوعی می‌تونه شبیه‌سازی مرتبط رو کنار توضیحش نشون بده. پارامترها رو تغییر می‌دی و با کمک توضیح بعدی، نتیجه رو بهتر می‌فهمی.
شروع یادگیری با چتبرای ادامه در چت، وارد مسیر شروع و ورود می‌شی. نتیجهٔ این آزمایش به چت منتقل نمی‌شه.
نمونهٔ نمایشی از آموزش در چت
چرا روش اویلر با گام بزرگ، جواب بدتری داد؟
هر گام، شیب ابتدای همون بازه رو برای کل بازه نگه می‌داره. وقتی گام بزرگه، منحنی واقعی ممکنه در طول قدم خم بشه و تخمین از مسیرش دور بیفته؛ قدم کوتاه‌تر معمولاً این فاصله رو کم می‌کنه.
سؤال‌های رایج
گام رو همیشه تا کمترین مقدار پایین بیارم؟
گام کوچک‌تر معمولاً خطا رو کم می‌کنه، ولی زمان و تعداد محاسبه‌ها رو زیاد می‌کنه. برای این ابزار، خطای گزارش‌شده رو هم کنار مقدار گام مقایسه کن.
جواب دقیق توی همهٔ روش‌ها فرق داره؟
برای هر نوع معادله و مقدار شروع، جواب دقیق جداگانه حساب می‌شه. روش اویلر تقریب رو با همون جواب و در مختصات نهایی مقایسه می‌کنه.
چرا گام بزرگ در نوع لجستیک می‌تونه خراب بشه؟
اگر مقدار شروع از ۱ بیشتر باشه، شیب منفی می‌شه؛ یک قدم خیلی بزرگ ممکنه از جواب واقعی رد بشه و مقدار رو منفی کنه. بعد قدم‌های بعدی خطا رو شدیدتر می‌کنن.
چرا بعضی اجراها تا x برابر ۵٫۱ می‌رن؟
چون ابزار اندازهٔ گام رو پشت‌سرهم به x اضافه می‌کنه؛ بعضی اعشار دقیق ذخیره نمی‌شن و یک قدم اضافه برداشته می‌شه. مقدار دقیق هم برای همون نقطهٔ نهایی حساب می‌شه.