آزمایشگاه آزاد؛ بدون نیاز به ورود
تقریب زاویهٔ کوچک تا کجا جواب می‌ده؟
فرمول کوتاه آونگ فرض می‌کنه زاویه کوچیکه؛ برای زاویه‌های بزرگ، دورهٔ واقعی کمی بیشتر می‌شه. عدد خطا کمک می‌کنه مرز این تقریب رو با شواهد پیدا کنی.
آزمایش رو شروع کنزاویه رو بر حسب درجه تغییر بده و عددهای دوره و اختلاف رو بر حسب ثانیه بخون؛ واحد کنار عددها نوشته نشده. طول آونگ ۱ متر و گرانش ۹٫۸۱ متر بر مجذور ثانیه ثابته. نمودار این صفحه خروجی‌های حدود ۲ ثانیه رو نشون نمی‌ده، پس برای مقایسه به عددها تکیه کن.
آزمایشگاه در حال آماده شدنه…
حالا خودت امتحان کن
هر بار فقط یک چیز رو تغییر بده تا اثرش رو ببینی. قبل از اجرا، نتیجه رو حدس بزن.
از زاویهٔ خیلی کم تا ۲۰ درجه
زاویه رو ۵ درجه بذار و دورهٔ دقیق و ساده رو ثبت کن. بعد زاویه رو به ۲۰ درجه برسون و خروجی‌ها رو مقایسه کن.
حدست چیه؟ در این بازه، دورهٔ فرمول ساده هنوز چقدر به دورهٔ دقیق نزدیک می‌مونه؟
توضیح نتیجه رو ببین
در ۵ درجه، دورهٔ دقیق حدود ۲٫۰۰۷ ثانیه و دورهٔ ساده حدود ۲٫۰۰۶۱ ثانیه‌ست؛ پنل خطای درصدی رو ۰٪ نشون می‌ده، چون به یک رقم گرد می‌کنه. اختلاف محاسبه‌شده نزدیک ۰٫۰۵٪ه. در ۲۰ درجه، دورهٔ دقیق ۲٫۰۲۱۵ ثانیه و خطای نمایش‌داده‌شده ۰٫۸٪ه.
از مرز یک‌درصد رد می‌شیم؟
زاویه رو ۲۰ درجه بذار و درصد خطا رو بخون. بعد زاویه رو ۳۰ درجه کن و دوباره مقایسه کن.
حدست چیه؟ بین این دو زاویه، خطای تقریب از یک درصد می‌گذره یا نه؟
توضیح نتیجه رو ببین
در ۲۰ درجه خطا حدود ۰٫۸٪ه؛ در ۳۰ درجه به حدود ۱٫۷٪ می‌رسه. پس طبق همین دو خروجی، مرز یک‌درصدی بین ۲۰ و ۳۰ درجه قرار می‌گیره؛ این یک آستانهٔ انتخابیه، نه یک مرز ثابت برای همهٔ کاربردها.
زاویهٔ بزرگ، دورهٔ بلندتر
دوره‌ها رو در زاویهٔ ۳۰ درجه ثبت کن. بعد به ۶۰ درجه برو و هم خطای ثانیه‌ای و هم درصد خطا رو مقایسه کن.
حدست چیه؟ با زیاد شدن زاویه، خطای فرمول ساده فقط کمی تغییر می‌کنه یا چند برابر می‌شه؟
توضیح نتیجه رو ببین
دورهٔ ساده در هر دو حالت حدود ۲٫۰۰۶۱ ثانیه می‌مونه. دورهٔ دقیق از حدود ۲٫۰۴۱ ثانیه در ۳۰ درجه به ۲٫۱۵۲۹ ثانیه در ۶۰ درجه می‌رسه؛ اختلاف از حدود ۰٫۰۳۴۹ به ۰٫۱۴۶۸ ثانیه و خطای نسبی از ۱٫۷٪ به ۷٫۳٪ زیاد می‌شه.
پشت این حرکت چه خبره؟
فرمول ساده از تقریب زاویهٔ کوچیک می‌آد
T_simple = 2*pi*sqrt(L/g)
برای زاویهٔ کم، جابه‌جایی افقی آونگ رو می‌شه با رابطه‌ای ساده تقریب زد. این باعث می‌شه دوره به دامنه وابسته نباشه؛ وقتی زاویه بزرگ‌تر می‌شه، این فرض کم‌دقت‌تر می‌شه.
دورهٔ دقیق به دامنه هم وابسته‌ست
T_exact = 4*sqrt(L/g)*K(sin(theta/2))
برای آونگ ایدئال که از سکون رها می‌شه، دورهٔ دقیق با انتگرال بیضوی به‌دست می‌آد. زاویهٔ داخل سینوس باید رادیان باشه؛ ویجت زاویهٔ لغزنده رو از درجه تبدیل می‌کنه.
خطای درصدی، اختلاف رو نسبت به فرمول ساده می‌سنجه
error_percent = |T_exact - T_simple|/T_simple
اختلاف دو دوره بر حسب ثانیه، خطای مطلقه. وقتی این اختلاف رو بر دورهٔ ساده تقسیم کنی، خطای نسبی به‌دست می‌آد؛ برای همین می‌تونی زاویه‌های مختلف رو منصفانه‌تر مقایسه کنی.
سؤالت رو بپرس، جوابش رو هم ببین
وقتی توی چت دربارهٔ یک مفهوم درس می‌خونی، دستیار هوش مصنوعی می‌تونه شبیه‌سازی مرتبط رو کنار توضیحش نشون بده. پارامترها رو تغییر می‌دی و با کمک توضیح بعدی، نتیجه رو بهتر می‌فهمی.
شروع یادگیری با چتبرای ادامه در چت، وارد مسیر شروع و ورود می‌شی. نتیجهٔ این آزمایش به چت منتقل نمی‌شه.
نمونهٔ نمایشی از آموزش در چت
در زاویهٔ ۶۰ درجه، فرمول ساده چقدر از دورهٔ دقیق فاصله می‌گیره؟
با طول یک متر و گرانش ۹٫۸۱، دورهٔ ساده حدود ۲٫۰۰۶۱ ثانیه و دورهٔ دقیق حدود ۲٫۱۵۲۹ ثانیه‌ست. اختلافشون حدود ۰٫۱۴۶۸ ثانیه و خطای نسبی حدود ۷٫۳٪ه؛ فرمول زاویهٔ کوچک این‌جا دیگه خیلی نزدیک نیست.
سؤال‌های رایج
چرا فرمول دورهٔ ساده به زاویه وابسته نیست؟
چون برای زاویه‌های کوچک یک تقریب به‌کار می‌بره که جمله‌های وابسته به دامنه رو نادیده می‌گیره. وقتی زاویه بزرگ‌تر می‌شه، دورهٔ دقیق از مقدار ساده فاصله می‌گیره.
کدوم دوره دقیق‌تره؟
دورهٔ انتگرال بیضوی، در چارچوب آونگ ایدئال این مدل، اثر زاویهٔ آغاز رو حساب می‌کنه. فرمول ساده فقط تقریب زاویهٔ کوچک رو می‌ده.
خطای نسبی با خطای ثانیه‌ای چه فرقی داره؟
خطای ثانیه‌ای اختلاف مستقیم دو دوره‌ست. خطای نسبی همون اختلاف رو بر دورهٔ ساده تقسیم می‌کنه و به شکل درصد نشون می‌ده.
آیا یک زاویهٔ مشخص همیشه مرز اعتبار تقریب می‌شه؟
نه؛ مرز به این بستگی داره که چه مقدار خطا برات قابل قبوله. این صفحه فقط می‌تونه نشون بده با آستانهٔ یک‌درصدی، بین ۲۰ و ۳۰ درجه از دو خروجی نمونه چه اتفاقی می‌افته.
اگر طول یا گرانش رو تغییر بدم، چی عوض می‌شه؟
طول و گرانش در این ویجت کنترل ندارن و ثابت موندن. دورهٔ هر دو فرمول به ریشهٔ نسبت طول به گرانش وابسته‌ست؛ این صفحه فقط دامنه رو تغییر می‌ده.